Considerando a seguinte função de transferência digital, encontre:
X(z)=z(z-1)(z-0,25)(z+0,5)(z+0,8)
x(k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função de transferência digital, que é basicamente uma equação que relaciona a entrada e a saída de um sistema no domínio z. O objetivo aqui é encontrar , que é a sequência de saída no tempo discreto. Para isso, vamos usar conceitos de transformada Z, que nos ajudam a converter entre o domínio do tempo e o domínio z.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de transferência dada:
X(z) = z(z - 1)(z - 0,25)(z + 0,5)(z + 0,8)
Nosso objetivo é encontrar , então precisamos realizar a transformada inversa de . Para isso, uma boa estratégia é decompor essa fração em termos mais simples que conhecemos a transformada inversa.

Passo 3

Vamos começar fazendo uma decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever z(z - 1)(z - 0,25)(z + 0,5)(z + 0,8) = Az - 0,25 + Bz + 0,5 + Cz + 0,8 como a soma de termos mais simples, onde cada termo tem um denominador que é uma parte dos fatores do denominador original. Assim, vamos assumir que:
Nosso próximo passo será encontrar os valores de , e .

Passo 4

Para encontrar z(z - 1) = A(z + 0,5)(z + 0,8) + B(z - 0,25)(z + 0,8) + C(z - 0,25)(z + 0,5) , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum , resultando em:
Agora, podemos substituir valores de que simplificam a equação para encontrar cada constante.

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar 0,25(0,25 - 1) = A(0,25 + 0,5)(0,25 + 0,8) 0,25(-0,75) = A(0,75)(1,05) -0,1875 = A(0,7875) A = -0,18750,7875 approx -0,2381 substituindo -0,5(-0,5 - 1) = B(-0,5 - 0,25)(-0,5 + 0,8) -0,5(-1,5) = B(-0,75)(0,3) 0,75 = B(-0,225) B = 0,75-0,225 approx -3,3333 :
-0,8(-0,8 - 1) = C(-0,8 - 0,25)(-0,8 + 0,5) -0,8(-1,8) = C(-1,05)(-0,3) 1,44 = C(0,315) C = 1,440,315 approx 4,5714
Agora, vamos encontrar substituindo :
Por fim, encontramos substituindo :

Passo 6

Agora que temos X(z) approx -0,2381z - 0,25 + -3,3333z + 0,5 + 4,5714z + 0,8 , e , podemos reescrever como:
Cada uma dessas frações correspondem a termos cujas transformadas inversas conhecemos.

Passo 7

Vamos aplicar a transformada inversa de Z em cada termo separadamente. Sabemos que:
Z^-11z - a = a^k u(k)
Onde -0,2381 cdot (0,25)^k u(k) é a função degrau unitário. Aplicando isso aos nossos termos:
  1. Para -3,3333 cdot (-0,5)^k u(k) :
4,5714 cdot (-0,8)^k u(k)
  1. Para :
  1. Para :

Passo 8

Finalmente, somamos todos esses termos para obter x(k) = -0,2381 cdot (0,25)^k u(k) - 3,3333 cdot (-0,5)^k u(k) + 4,5714 cdot (-0,8)^k u(k) :

Resposta

A sequência de saída é dada por:
x(k) = -0,2381 cdot (0,25)^k u(k) - 3,3333 cdot (-0,5)^k u(k) + 4,5714 cdot (-0,8)^k u(k)

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