Considerando a seguinte função de transferência digital, encontre:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função de transferência digital, que é basicamente uma equação que relaciona a entrada e a saída de um sistema no domínio z. O objetivo aqui é encontrar
, que é a sequência de saída no tempo discreto. Para isso, vamos usar conceitos de transformada Z, que nos ajudam a converter entre o domínio do tempo e o domínio z.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de transferência dada:
Nosso objetivo é encontrar
, então precisamos realizar a transformada inversa de
. Para isso, uma boa estratégia é decompor essa fração em termos mais simples que conhecemos a transformada inversa.
Passo 3
Vamos começar fazendo uma decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever
como a soma de termos mais simples, onde cada termo tem um denominador que é uma parte dos fatores do denominador original. Assim, vamos assumir que:
Nosso próximo passo será encontrar os valores de
,
e
.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
, resultando em:
Agora, podemos substituir valores de
que simplificam a equação para encontrar cada constante.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar
substituindo
:
Agora, vamos encontrar
substituindo
:
Por fim, encontramos
substituindo
:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever
como:
Cada uma dessas frações correspondem a termos cujas transformadas inversas conhecemos.
Passo 7
Vamos aplicar a transformada inversa de Z em cada termo separadamente. Sabemos que:
Onde
é a função degrau unitário. Aplicando isso aos nossos termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Finalmente, somamos todos esses termos para obter
:
Resposta
A sequência de saída é dada por: