Discretize as seguintes funções contínuas, utilizando a discretização por segurador ordem-zero, dando a função equivalente digital em Z, para T= 0,1 segundos: H(s)=2 ss^2+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem esse exercício que pede para discretizar uma função contínua usando a discretização por segurador de ordem-zero. O conteúdo principal aqui é Transformada de Laplace e Transformada Z. Vamos precisar entender como converter a função contínua para uma função no domínio digital, ou seja, em termos de , com um período de amostragem segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é discretizar uma função contínua. Basicamente, estamos convertendo uma função que funciona no tempo contínuo para uma que funciona em tempo discreto, ou seja, em intervalos específicos de tempo (nesse caso, a cada 0,1 segundos).

Passo 3

A discretização por segurador de ordem-zero (Zero-Order Hold - ZOH) é um método que mantém o valor da função constante entre as amostras. Para fazer essa conversão, usamos a seguinte fórmula:
H(z) = Z L^-1 H(s) cdot 1 - e^-sTs
Aqui, representa a transformada inversa de Laplace e é a transformada Z.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa função H(s) cdot 1 - e^-sTs = 2ss^2 + 4 cdot 1 - e^-sTs = 2(1 - e^-sT)s^2 + 4 . Primeiro, multiplicamos pelo termo do segurador:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace dessa expressão. Observamos que:
L^-1 2s^2 + 4 = sin(2t)
Então, a transformada inversa completa será:
L^-1 2(1 - e^-sT)s^2 + 4 = 2sin(2t) - 2sin(2(t - T))u(t - T)
onde é a função de Heaviside.

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada Z nessa função no tempo discreto. Considerando o período de amostragem H(z) = Z 2sin(0,2n) - 2sin(0,2(n - 1))u(n - 1) segundos, substituímos onde é inteiro, e obtemos:

Passo 7

Após calcular a transformada Z, simplificamos a expressão e obtemos a função digital equivalente. Esse processo envolve cálculos mais detalhados, mas o resultado final será uma função racional em termos de .

Resposta

A função equivalente digital em H(z) = 2(z - 1)z^2 - 2zcos(0,2) + 1 é:

Exercícios relacionados