Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=11+x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função 11 - x = sumn=0^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ldots e queremos desenvolver essa função em uma série de potências, ou seja, em uma soma infinita envolvendo potências de . Para isso, vamos utilizar o conteúdo de Séries de Potências, especificamente a série que já conhecemos:
Sabemos que essa série converge para no intervalo . Vamos precisar adaptar essa série usando substituições para conseguir expressar de forma semelhante.

Passo 2

Observamos que a função que queremos, , se parece muito com , mas com uma pequena diferença: ao invés de , temos no denominador. Então, podemos pensar em substituir por na série que já conhecemos.

Passo 3

Vamos fazer essa substituição:
11 - (-x^2) = 11 + x^2
Agora, substituímos 11 + x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^2n por f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ldots na série original:
Isso significa que podemos escrever como:

Passo 4

Agora, precisamos verificar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original | -x^2 | < 1 implies x^2 < 1 implies |x| < 1 converge para . Como fizemos a substituição por , vamos ver para quais valores de a série converge.
Isso acontece quando:
Portanto, o intervalo de convergência permanece .

Resposta

A série de potências para a função f(x) = 11 + x^2 = sumn=0^infty (-1)^n x^2n = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ldots é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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