Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos desenvolver essa função em uma série de potências, ou seja, em uma soma infinita envolvendo potências de
. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de Séries de Potências, especificamente a série que já conhecemos:
Sabemos que essa série converge para
no intervalo
. Vamos precisar adaptar essa série usando substituições para conseguir expressar
de forma semelhante.
Passo 2
Observamos que a função que queremos,
, se parece muito com
, mas com uma pequena diferença: ao invés de
, temos
no denominador. Então, podemos pensar em substituir
por
na série que já conhecemos.
Passo 3
Vamos fazer essa substituição:
Agora, substituímos
por
na série original:
Isso significa que podemos escrever
como:
Passo 4
Agora, precisamos verificar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original
converge para
. Como fizemos a substituição
por
, vamos ver para quais valores de
a série
converge.
Isso acontece quando:
Portanto, o intervalo de convergência permanece
.
Resposta
A série de potências para a função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Identifique o domínio em que
é derivável. Verifique se existe algum domínio que ela seja analítica. Justifique sua resposta.
Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma