Identifique o domínio em que
é derivável. Verifique se existe algum domínio que ela seja analítica. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar onde a função
é derivável e verificar se existe algum domínio onde ela é analítica. Isso envolve conceitos de funções de variável complexa, especificamente a derivabilidade no sentido de Cauchy-Riemann e a análise de analiticidade. Para resolver, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar onde uma função complexa é derivável e analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em suas partes reais e imaginárias. Sabemos que
, onde
e
são números reais. Então:
Vamos distribuir os termos:
Aqui, identificamos a parte real
e a parte imaginária
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função
ser derivável em um ponto, ela precisa satisfazer:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Passo 4
Agora, igualamos de acordo com as Equações de Cauchy-Riemann:
A segunda equação é sempre verdadeira, então vamos focar na primeira.
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Isso nos mostra que a relação entre
e
deve ser
para que as Equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas.
Passo 6
Para a função ser derivável, as condições das Equações de Cauchy-Riemann devem ser satisfeitas em um ponto específico. Aqui, vimos que isso acontece somente quando
. Isso significa que a função é derivável apenas ao longo da reta
no plano complexo.
Passo 7
Agora, para a função ser analítica em um domínio, ela precisa ser derivável em todos os pontos desse domínio e suas derivadas devem ser contínuas. No nosso caso, a função é derivável apenas ao longo de uma reta, que é um conjunto de pontos de dimensão 1, mas para ser analítica, precisamos de um domínio aberto onde a função seja derivável em todos os pontos.
Passo 8
Como a função
é derivável apenas em uma reta específica e não em um domínio aberto do plano complexo, concluímos que não existe nenhum domínio em que
seja analítica.
Resposta
A função
é derivável somente na reta
do plano complexo e não é analítica em nenhum domínio aberto.
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Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma
Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: