Identifique o domínio em que f(z) = x^2 + i*y^2 - x*(1 + i) + y*(1 - i*5) é derivável. Verifique se existe algum domínio que ela seja analítica. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar onde a função é derivável e verificar se existe algum domínio onde ela é analítica. Isso envolve conceitos de funções de variável complexa, especificamente a derivabilidade no sentido de Cauchy-Riemann e a análise de analiticidade. Para resolver, vamos precisar usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para determinar onde uma função complexa é derivável e analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em suas partes reais e imaginárias. Sabemos que , onde e são números reais. Então:
Vamos distribuir os termos:
Aqui, identificamos a parte real e a parte imaginária :

Passo 3

Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa satisfazer:
Vamos calcular essas derivadas parciais:

Passo 4

Agora, igualamos de acordo com as Equações de Cauchy-Riemann:
A segunda equação é sempre verdadeira, então vamos focar na primeira.

Passo 5

Resolvendo a equação :
Isso nos mostra que a relação entre e deve ser para que as Equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas.

Passo 6

Para a função ser derivável, as condições das Equações de Cauchy-Riemann devem ser satisfeitas em um ponto específico. Aqui, vimos que isso acontece somente quando . Isso significa que a função é derivável apenas ao longo da reta no plano complexo.

Passo 7

Agora, para a função ser analítica em um domínio, ela precisa ser derivável em todos os pontos desse domínio e suas derivadas devem ser contínuas. No nosso caso, a função é derivável apenas ao longo de uma reta, que é um conjunto de pontos de dimensão 1, mas para ser analítica, precisamos de um domínio aberto onde a função seja derivável em todos os pontos.

Passo 8

Como a função é derivável apenas em uma reta específica e não em um domínio aberto do plano complexo, concluímos que não existe nenhum domínio em que seja analítica.

Resposta

A função é derivável somente na reta do plano complexo e não é analítica em nenhum domínio aberto.

Exercícios relacionados

Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0. e -pi < Im(z) <= pi quando submetido a f(z).
Assuma f(z) = Im[e^z + 1]
Calcule todos os valores de z que satisfazem a expressão e^(z-1) = -i e^(3)
Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=11+x^2
Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=1x-1