Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma
Passo 1
Vamos resolver um exercício de mapeamento de conjuntos no plano complexo. Nosso objetivo é mapear todos os pontos
que satisfazem
e
através da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções complexas e a representação exponencial dos números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Sabemos que qualquer número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
.
Passo 3
Vamos expressar
usando a fórmula de Euler:
Portanto, a função
fica:
Passo 4
Agora, vamos separar as partes real e imaginária de
:
Então, podemos escrever
como:
Passo 5
Sabemos que
, ou seja,
, e
. Vamos analisar como esses valores afetam
e
.
Quando
,
varia de
a
. Além disso,
varia de
a
e
também varia de
a
.
Passo 6
Vamos determinar os limites para
:
Portanto,
.
Para
:
Assim,
.
Passo 7
Concluímos que a região definida por
e
é mapeada pela função
para uma região no plano complexo onde tanto a parte real quanto a parte imaginária variam entre 0 e 2. Geometricamente, isso corresponde a um quadrado no primeiro quadrante com vértices em
e
.
Resposta
Após o mapeamento, a região definida por
e
é transformada pela função
em um quadrado no plano complexo com limites
e
.
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, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
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Escreva:
c) como uma potência de 5.
c)