Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a série da função
usando a série conhecida de
, que converge quando
está no intervalo
. Vamos precisar entender como manipular séries e aplicar substituições para obter a série da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que se pareça mais com a série conhecida. Observamos que:
Isso é útil porque já conhecemos a série para
.
Passo 3
Agora, substituindo na expressão acima pela série conhecida, temos:
Passo 4
A série resultante é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série original
converge quando
. Como apenas multiplicamos a série por -1, o intervalo de convergência permanece o mesmo.
Resposta
A série de
é:
e converge para
no intervalo
.
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Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo:
Identifique o domínio em que
é derivável. Verifique se existe algum domínio que ela seja analítica. Justifique sua resposta.
Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma
Considerando a série
, com domínio de convergência
, desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: