Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=1x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenvolver a série da função usando a série conhecida de , que converge quando está no intervalo . Vamos precisar entender como manipular séries e aplicar substituições para obter a série da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 1x-1 = -11 - x de uma forma que se pareça mais com a série conhecida. Observamos que:
Isso é útil porque já conhecemos a série para .

Passo 3

Agora, substituindo na expressão acima pela série conhecida, temos:
f(x) = -11 - x = -sumn=0^infty x^n = -1 - x - x^2 - x^3 - ldots

Passo 4

A série resultante é:
f(x) = sumn=0^infty (-1) x^n = -1 - x - x^2 - x^3 - ldots

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série original converge quando . Como apenas multiplicamos a série por -1, o intervalo de convergência permanece o mesmo.

Resposta

A série de f(x) = -sumn=0^infty x^n = -1 - x - x^2 - x^3 - ldots é:
e converge para no intervalo .

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Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=11+x^2
Identifique o domínio em que f(z) = x^2 + i*y^2 - x*(1 + i) + y*(1 - i*5) é derivável. Verifique se existe algum domínio que ela seja analítica. Justifique sua resposta.
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Considerando a série 11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots, com domínio de convergência DC=(-1,1), desenvolva as séries das funções abaixo em seus respectivos intervalos de convergência, utilizando substituições, derivações ou integrações termo a termo: f(x)=1(1-x)^2