Uma portadora é modulada em amplitude, com um sinal que tem a autocorrelação dada abaixo. Calcule a potência total e as potências A C e DC do sinal mensagem. Calcule a potência do sinal modulado para os seguintes valores do índice de modulação: De. Esboce o gráfico da autocorrelação do sinal modulado para cada caso.
RM(tau)=11+tau^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta fala sobre modulação em amplitude (AM) de uma portadora e nos dá a autocorrelação do sinal mensagem. Precisamos calcular a potência total, as potências AC e DC do sinal mensagem, além da potência do sinal modulado para diferentes índices de modulação ( De, 0,5, 1). Também vamos esboçar o gráfico da autocorrelação do sinal modulado para cada caso. Para isso, vamos usar conceitos de autocorrelação, potência de sinais e modulação AM.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é autocorrelação. A autocorrelação de um sinal RM(tau) nos dá uma ideia de como o sinal se relaciona consigo mesmo em diferentes deslocamentos de tempo tau. Aqui, a autocorrelação do sinal mensagem é dada por:
RM(tau) = 11+tau^2
Sabemos que a potência total de um sinal é a soma das potências DC (constante) e AC (variável).

Passo 3

Vamos calcular a potência total do sinal mensagem. A potência total PT de um sinal pode ser obtida avaliando a autocorrelação no instante tau = 0:
PT = RM(0) = 11+0^2 = 1

Passo 4

Agora, para encontrar as potências DC e AC, precisamos lembrar que:
PT = PDC + PAC
Em muitos sinais de mensagem, a potência DC corresponde ao valor médio do sinal, e a potência AC é a variação em torno desse valor médio.

Passo 5

Assumindo que o sinal mensagem tem média zero (o que é comum em sinais de comunicação), a potência DC seria:
PDC = 0
Assim, toda a potência é potência AC:
PAC = PT - PDC = 1 - 0 = 1

Passo 6

Agora, vamos calcular a potência do sinal modulado para diferentes índices de modulação De. A potência do sinal modulado Pmod em AM é dada por:
Pmod = PDC + (De
Como PDC = 1 e PAC = 1, substituímos na fórmula.

Passo 7

Para De:
Pmod = 1 + 0^22 times 1 = 1

Passo 8

Para De:
Pmod = 1 + 0,5^22 times 1 = 1 + 0,252 = 1 + 0,125 = 1,125

Passo 9

Para De:
Pmod = 1 + 1^22 times 1 = 1 + 12 = 1 + 0,5 = 1,5

Passo 10

Por fim, para esboçar os gráficos da autocorrelação do sinal modulado para cada caso, consideramos que a autocorrelação do sinal modulado depende do índice de modulação. À medida que De aumenta, a forma da autocorrelação mudará de acordo com a potência introduzida pela modulação. No entanto, como estamos focando nos cálculos, os gráficos seriam representações gráficas de Rmod(tau) para cada De calculado.

Resposta

A potência total do sinal mensagem é 1, com potência DC igual a 0 e potência AC igual a 1. A potência do sinal modulado para os índices de modulação dados são:
  • Para De: Pmod = 1
  • Para De: Pmod = 1,125
  • Para De: Pmod = 1,5
    Os gráficos da autocorrelação do sinal modulado variam conforme o índice de modulação, refletindo as diferentes potências calculadas.

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