Uma portadora é modulada em amplitude, com um sinal que tem a autocorrelação dada abaixo. Calcule a potência total e as potências
e DC do sinal mensagem. Calcule a potência do sinal modulado para os seguintes valores do índice de modulação:
. Esboce o gráfico da autocorrelação do sinal modulado para cada caso.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A pergunta fala sobre modulação em amplitude (AM) de uma portadora e nos dá a autocorrelação do sinal mensagem. Precisamos calcular a potência total, as potências AC e DC do sinal mensagem, além da potência do sinal modulado para diferentes índices de modulação (
,
,
). Também vamos esboçar o gráfico da autocorrelação do sinal modulado para cada caso. Para isso, vamos usar conceitos de autocorrelação, potência de sinais e modulação AM.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é autocorrelação. A autocorrelação de um sinal
nos dá uma ideia de como o sinal se relaciona consigo mesmo em diferentes deslocamentos de tempo
. Aqui, a autocorrelação do sinal mensagem é dada por:
Sabemos que a potência total de um sinal é a soma das potências DC (constante) e AC (variável).
Passo 3
Vamos calcular a potência total do sinal mensagem. A potência total
de um sinal pode ser obtida avaliando a autocorrelação no instante
:
Passo 4
Agora, para encontrar as potências DC e AC, precisamos lembrar que:
Em muitos sinais de mensagem, a potência DC corresponde ao valor médio do sinal, e a potência AC é a variação em torno desse valor médio.
Passo 5
Assumindo que o sinal mensagem tem média zero (o que é comum em sinais de comunicação), a potência DC seria:
Assim, toda a potência é potência AC:
Passo 6
Agora, vamos calcular a potência do sinal modulado para diferentes índices de modulação
. A potência do sinal modulado
em AM é dada por:
Como
e
, substituímos na fórmula.
Passo 7
Para
:
Passo 8
Para
:
Passo 9
Para
:
Passo 10
Por fim, para esboçar os gráficos da autocorrelação do sinal modulado para cada caso, consideramos que a autocorrelação do sinal modulado depende do índice de modulação. À medida que
aumenta, a forma da autocorrelação mudará de acordo com a potência introduzida pela modulação. No entanto, como estamos focando nos cálculos, os gráficos seriam representações gráficas de
para cada
calculado.
Resposta
A potência total do sinal mensagem é
, com potência DC igual a
e potência AC igual a
. A potência do sinal modulado para os índices de modulação dados são:
- Para
: - Para
: - Para
:
Os gráficos da autocorrelação do sinal modulado variam conforme o índice de modulação, refletindo as diferentes potências calculadas.