Considerando os tetravetores velocidade e aceleração definidos nos problemas 1 e 2, mostre que: e , onde é a chamada aceleração própria, ou seja, a aceleração medida no referencial instantâneo de repouso da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem dois tetravetores: velocidade ( ) e aceleração ( ). A tarefa é mostrar três relações envolvendo esses tetravetores:
Para resolver isso, vamos usar conceitos da relatividade restrita, especificamente sobre tetravetores e produtos escalares no espaço-tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os tetravetores velocidade ( ) e aceleração ( ).
  • Tetravetor Velocidade ( ): É a derivada do tetravetor posição em relação ao tempo próprio ( ). Matemáticamente, .
  • Tetravetor Aceleração ( ): É a derivada do tetravetor velocidade em relação ao tempo próprio. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos entender o produto escalar entre tetravetores no espaço-tempo. Usamos a métrica de Minkowski, que tem a forma . Então, o produto escalar entre dois tetravetores e é dado por:
Isso significa que a componente de tempo contribui positivamente, enquanto as componentes espaciais contribuem negativamente.

Passo 4

Vamos provar a primeira relação: .
Sabemos que o tetravetor velocidade é normalizado de forma que:
Isso porque, no referencial da partícula (onde a velocidade espacial é zero), temos , e então:
Portanto, essa relação é uma definição padrão do tetravetor velocidade.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda relação: .
Para provar isso, vamos derivar a expressão em relação ao tempo próprio :
Como é constante ( ), sua derivada é zero. Portanto, . Isso mostra que a aceleração é ortogonal ao vetor velocidade no espaço-tempo.

Passo 6

Finalmente, vamos provar a terceira relação: .
A aceleração própria é a medida da aceleração no referencial instantâneo de repouso da partícula. No referencial da partícula, o tetravetor velocidade �� , e o tetravetor aceleração tem apenas componentes espaciais. Então:
Calculando o produto escalar:
Aqui, representa a magnitude da aceleração própria ao quadrado. Portanto, .

Resposta

Mostramos que:

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