Considerando os tetravetores velocidade e aceleração definidos nos problemas 1 e 2, mostre que:
e
, onde
é a chamada aceleração própria, ou seja, a aceleração medida no referencial instantâneo de repouso da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem dois tetravetores: velocidade (
) e aceleração (
). A tarefa é mostrar três relações envolvendo esses tetravetores:
Para resolver isso, vamos usar conceitos da relatividade restrita, especificamente sobre tetravetores e produtos escalares no espaço-tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os tetravetores velocidade (
) e aceleração (
).
-
Tetravetor Velocidade (
): É a derivada do tetravetor posição em relação ao tempo próprio ( ). Matemáticamente, . -
Tetravetor Aceleração (
): É a derivada do tetravetor velocidade em relação ao tempo próprio. Ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos entender o produto escalar entre tetravetores no espaço-tempo. Usamos a métrica de Minkowski, que tem a forma
. Então, o produto escalar entre dois tetravetores
e
é dado por:
Isso significa que a componente de tempo contribui positivamente, enquanto as componentes espaciais contribuem negativamente.
Passo 4
Vamos provar a primeira relação:
.
Sabemos que o tetravetor velocidade é normalizado de forma que:
Isso porque, no referencial da partícula (onde a velocidade espacial é zero), temos
, e então:
Portanto, essa relação é uma definição padrão do tetravetor velocidade.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda relação:
.
Para provar isso, vamos derivar a expressão
em relação ao tempo próprio
:
Como
é constante (
), sua derivada é zero. Portanto,
. Isso mostra que a aceleração é ortogonal ao vetor velocidade no espaço-tempo.
Passo 6
Finalmente, vamos provar a terceira relação:
.
A aceleração própria
é a medida da aceleração no referencial instantâneo de repouso da partícula. No referencial da partícula, o tetravetor velocidade ��
, e o tetravetor aceleração
tem apenas componentes espaciais. Então:
Calculando o produto escalar:
Aqui,
representa a magnitude da aceleração própria ao quadrado. Portanto,
.
Resposta
Mostramos que:
Exercícios relacionados
Um elétron é acelerado no sentido leste a
por um campo elétrico. Determine a intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico.
- Uma nave espacial de massa
viaja com velocidade constante pelo espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de durante um tempo muito curto (que vamos aproximar como sendo instantâneo) a uma velocidade de em relação à nave.
c) Usando os resultados de a), estime a mudança na massa total do sistema nesse processo.
Um disco de raio
tem uma densidade de carga uniforme
. (a) calcular o campo elétrico para os pontos do eixo do disco. (b) a que se reduz este resultado para pontos afastados do centro,
? © e para pontos bem próximos do centro do disco,
?
O campo elétrico é definido em termos de
, uma pequena carga positiva. Se, em vez disso, a definição for em termos de uma pequena carga negativa de mesma intensidade, então, comparado com o campo original, o novo campo elétrico definido
(A) apontará no mesmo sentido e terá a mesma intensidade.
(B) apontará no sentido oposto, mas terá a mesma intensidade.
© apontará no mesmo sentido, mas terá uma diferente intensidade.
(D) apontará no sentido oposto e terá uma diferente intensidade.
Explique brevemente o motivo.
(A) apontará no mesmo sentido e terá a mesma intensidade.
(B) apontará no sentido oposto, mas terá a mesma intensidade.
© apontará no mesmo sentido, mas terá uma diferente intensidade.
(D) apontará no sentido oposto e terá uma diferente intensidade.
Explique brevemente o motivo.