Considerando os tetravetores velocidade e aceleração definidos nos problemas 1 e 2, mostre que:
e
, onde
é a chamada aceleração própria, ou seja, a aceleração medida no referencial instantâneo de repouso da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem dois tetravetores: velocidade (
) e aceleração (
). A tarefa é mostrar três relações envolvendo esses tetravetores:
Para resolver isso, vamos usar conceitos da relatividade restrita, especificamente sobre tetravetores e produtos escalares no espaço-tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os tetravetores velocidade (
) e aceleração (
).
-
Tetravetor Velocidade (
): É a derivada do tetravetor posição em relação ao tempo próprio ( ). Matemáticamente, . -
Tetravetor Aceleração (
): É a derivada do tetravetor velocidade em relação ao tempo próprio. Ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos entender o produto escalar entre tetravetores no espaço-tempo. Usamos a métrica de Minkowski, que tem a forma
. Então, o produto escalar entre dois tetravetores
e
é dado por:
Isso significa que a componente de tempo contribui positivamente, enquanto as componentes espaciais contribuem negativamente.
Passo 4
Vamos provar a primeira relação:
.
Sabemos que o tetravetor velocidade é normalizado de forma que:
Isso porque, no referencial da partícula (onde a velocidade espacial é zero), temos
, e então:
Portanto, essa relação é uma definição padrão do tetravetor velocidade.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda relação:
.
Para provar isso, vamos derivar a expressão
em relação ao tempo próprio
:
Como
é constante (
), sua derivada é zero. Portanto,
. Isso mostra que a aceleração é ortogonal ao vetor velocidade no espaço-tempo.
Passo 6
Finalmente, vamos provar a terceira relação:
.
A aceleração própria
é a medida da aceleração no referencial instantâneo de repouso da partícula. No referencial da partícula, o tetravetor velocidade ��
, e o tetravetor aceleração
tem apenas componentes espaciais. Então:
Calculando o produto escalar:
Aqui,
representa a magnitude da aceleração própria ao quadrado. Portanto,
.
Resposta
Mostramos que: