Considerando os tetravetores velocidade e aceleração definidos nos problemas 1 e 2, mostre que: U cdot U=c^2, U cdot A=0 e A cdot A=-alpha^2, onde alpha é a chamada aceleração própria, ou seja, a aceleração medida no referencial instantâneo de repouso da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem dois tetravetores: velocidade ( U) e aceleração ( A). A tarefa é mostrar três relações envolvendo esses tetravetores:
  1. U cdot U = c^2
  2. U cdot A = 0
  3. A cdot A = -alpha^2
Para resolver isso, vamos usar conceitos da relatividade restrita, especificamente sobre tetravetores e produtos escalares no espaço-tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os tetravetores velocidade ( U) e aceleração ( A).
  • Tetravetor Velocidade ( U): É a derivada do tetravetor posição em relação ao tempo próprio ( tau). Matemáticamente, U = dXdtau.
  • Tetravetor Aceleração ( A): É a derivada do tetravetor velocidade em relação ao tempo próprio. Ou seja, A = dUdtau.

Passo 3

Agora, vamos entender o produto escalar entre tetravetores no espaço-tempo. Usamos a métrica de Minkowski, que tem a forma (+,-,-,-). Então, o produto escalar entre dois tetravetores V e W é dado por:
V cdot W = V^0 W^0 - V^1 W^1 - V^2 W^2 - V^3 W^3
Isso significa que a componente de tempo contribui positivamente, enquanto as componentes espaciais contribuem negativamente.

Passo 4

Vamos provar a primeira relação: U cdot U = c^2.
Sabemos que o tetravetor velocidade é normalizado de forma que:
U cdot U = c^2
Isso porque, no referencial da partícula (onde a velocidade espacial é zero), temos U = (c, 0, 0, 0), e então:
U cdot U = c cdot c - 0 - 0 - 0 = c^2
Portanto, essa relação é uma definição padrão do tetravetor velocidade.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda relação: U cdot A = 0.
Para provar isso, vamos derivar a expressão U cdot U = c^2 em relação ao tempo próprio tau:
ddtau(U cdot U) = 2 U cdot dUdtau = 2 U cdot A = 0
Como U cdot U é constante ( c^2), sua derivada é zero. Portanto, U cdot A = 0. Isso mostra que a aceleração é ortogonal ao vetor velocidade no espaço-tempo.

Passo 6

Finalmente, vamos provar a terceira relação: A cdot A = -alpha^2.
A aceleração própria alpha é a medida da aceleração no referencial instantâneo de repouso da partícula. No referencial da partícula, o tetravetor velocidade �� U = (c, 0, 0, 0), e o tetravetor aceleração A tem apenas componentes espaciais. Então:
A = (0, alpha^1, alpha^2, alpha^3)
Calculando o produto escalar:
A cdot A = 0 cdot 0 - (alpha^1)^2 - (alpha^2)^2 - (alpha^3)^2 = -alpha^2
Aqui, alpha^2 = (alpha^1)^2 + (alpha^2)^2 + (alpha^3)^2 representa a magnitude da aceleração própria ao quadrado. Portanto, A cdot A = -alpha^2.

Resposta

Mostramos que:
  1. U cdot U = c^2
  2. U cdot A = 0
  3. A cdot A = -alpha^2

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