Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco com raio e densidade de carga uniforme . A gente precisa calcular o campo elétrico nos pontos do eixo desse disco e ver como ele se comporta em duas situações: quando o ponto está muito longe () e quando está bem perto (). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb e integrar as contribuições de cada pedacinho de carga do disco no ponto considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em um elemento infinitesimal de área no disco, que chamaremos de . A carga nesse elemento é , já que a densidade de carga é uniforme. Como estamos no eixo do disco, a simetria nos ajuda: todas as componentes horizontais do campo elétrico vão se cancelar, sobrando só a componente vertical.
Passo 3
Vamos usar coordenadas cilíndricas pra facilitar. Seja a distância do centro do disco até o elemento , e a distância ao longo do eixo. A distância total do elemento até o ponto no eixo é . A contribuição ao campo elétrico pelo elemento na direção vertical é:
Passo 4
Substituindo (já que em coordenadas cilíndricas), temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos integrar isso de até :
Fazendo uma substituição , , a integral fica:
Integrando:
Passo 6
Simplificando mais:
Esse é o campo elétrico no eixo do disco.
Passo 7
Agora, para (ponto bem distante), é desprezível comparado com , então:
Substituindo na expressão do campo:
Isso se parece com o campo de um dipolo, mas na verdade, para grandes , o campo de um disco carregado se comporta como o campo de um ponto de carga total :
Passo 8
Para (ponto bem próximo do centro), é muito menor que , então:
Esse resultado mostra que, bem perto do centro do disco, o campo elétrico é constante e igual a , similar ao campo de uma chapa infinita carregada.
Resposta
(a) O campo elétrico no eixo do disco é .
(b) Para , o campo se comporta como , equivalente ao campo de uma carga pontual.