Um disco de raio tem uma densidade de carga uniforme . (a) calcular o campo elétrico para os pontos do eixo do disco. (b) a que se reduz este resultado para pontos afastados do centro, ? © e para pontos bem próximos do centro do disco, ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco com raio e densidade de carga uniforme . A gente precisa calcular o campo elétrico nos pontos do eixo desse disco e ver como ele se comporta em duas situações: quando o ponto está muito longe ( ) e quando está bem perto ( ). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb e integrar as contribuições de cada pedacinho de carga do disco no ponto considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em um elemento infinitesimal de área no disco, que chamaremos de . A carga nesse elemento é , já que a densidade de carga é uniforme. Como estamos no eixo do disco, a simetria nos ajuda: todas as componentes horizontais do campo elétrico vão se cancelar, sobrando só a componente vertical.

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas pra facilitar. Seja a distância do centro do disco até o elemento , e a distância ao longo do eixo. A distância total do elemento até o ponto no eixo é . A contribuição ao campo elétrico pelo elemento na direção vertical é:

Passo 4

Substituindo (já que em coordenadas cilíndricas), temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos integrar isso de até :
Fazendo uma substituição , , a integral fica:
Integrando:

Passo 6

Simplificando mais:
Esse é o campo elétrico no eixo do disco.

Passo 7

Agora, para (ponto bem distante), é desprezível comparado com , então:
Substituindo na expressão do campo:
Isso se parece com o campo de um dipolo, mas na verdade, para grandes , o campo de um disco carregado se comporta como o campo de um ponto de carga total :

Passo 8

Para (ponto bem próximo do centro), é muito menor que , então:
Esse resultado mostra que, bem perto do centro do disco, o campo elétrico é constante e igual a , similar ao campo de uma chapa infinita carregada.

Resposta

(a) O campo elétrico no eixo do disco é .
(b) Para , o campo se comporta como , equivalente ao campo de uma carga pontual.
© Para , o campo se aproxima de , um campo constante semelhante ao de uma chapa infinita.

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(B) apontará no sentido oposto, mas terá a mesma intensidade.
© apontará no mesmo sentido, mas terá uma diferente intensidade.
(D) apontará no sentido oposto e terá uma diferente intensidade.
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