Um disco de raio R tem uma densidade de carga uniforme sigma. (a) calcular o campo elétrico para os pontos do eixo do disco. (b) a que se reduz este resultado para pontos afastados do centro, y>>R ? © e para pontos bem próximos do centro do disco, y< ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco com raio e densidade de carga uniforme . A gente precisa calcular o campo elétrico nos pontos do eixo desse disco e ver como ele se comporta em duas situações: quando o ponto está muito longe ( ) e quando está bem perto ( ). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb e integrar as contribuições de cada pedacinho de carga do disco no ponto considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em um elemento infinitesimal de área no disco, que chamaremos de . A carga nesse elemento é , já que a densidade de carga é uniforme. Como estamos no eixo do disco, a simetria nos ajuda: todas as componentes horizontais do campo elétrico vão se cancelar, sobrando só a componente vertical.

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas pra facilitar. Seja dEy = 14piepsilon0 dq cdot y(r^2 + y^2)^3/2 a distância do centro do disco até o elemento , e a distância ao longo do eixo. A distância total do elemento até o ponto no eixo é . A contribuição ao campo elétrico pelo elemento na direção vertical é:

Passo 4

Substituindo dEy = 14piepsilon0 sigma cdot 2pi r , dr cdot y(r^2 + y^2)^3/2 (já que dEy = sigma y2epsilon0 r , dr(r^2 + y^2)^3/2 em coordenadas cilíndricas), temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos integrar isso de Ey = sigma y2epsilon0 integral0^R r , dr(r^2 + y^2)^3/2 até Ey = sigma y2epsilon0 cdot 12 integraly^2^R^2 + y^2 u^-3/2 , du :
Ey = sigma y4epsilon0 [ -2u^-1/2 ]y^2^R^2 + y^2 = sigma y2epsilon0 ( 1y - 1raizR^2 + y^2 )
Fazendo uma substituição , , a integral fica:
Integrando:

Passo 6

Simplificando mais:
Ey = sigma2epsilon0 ( 1 - yraizR^2 + y^2 )
Esse é o campo elétrico no eixo do disco.

Passo 7

Agora, para raizR^2 + y^2 approx y (1 + R^22y^2) (ponto bem distante), Ey approx sigma2epsilon0 (1 - yy (1 + R^22y^2) ) = sigma2epsilon0 (1 - 11 + R^22y^2 ) approx sigma R^24epsilon0 y^2 é desprezível comparado com Ey approx 14piepsilon0 Qy^2 , então:
Substituindo na expressão do campo:
Isso se parece com o campo de um dipolo, mas na verdade, para grandes , o campo de um disco carregado se comporta como o campo de um ponto de carga total :

Passo 8

Para Ey approx sigma2epsilon0 (1 - yR ) approx sigma2epsilon0 (ponto bem próximo do centro), é muito menor que , então:
Esse resultado mostra que, bem perto do centro do disco, o campo elétrico é constante e igual a , similar ao campo de uma chapa infinita carregada.

Resposta

(a) O campo elétrico no eixo do disco é .
(b) Para , o campo se comporta como , equivalente ao campo de uma carga pontual.
© Para , o campo se aproxima de , um campo constante semelhante ao de uma chapa infinita.

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