Considerando uma variável aleatória com distribuição binominal (9, 0.4) calcule a probabilidade de: Construa os gráficos: Função de Probabilidade (densidade) e Função de probabilidade acumulada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente trabalhar com uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros e . Isso significa que temos 9 tentativas e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é 0.4. Nosso objetivo é calcular algumas probabilidades específicas e construir dois gráficos: a Função de Probabilidade (FDP) e a Função de Probabilidade Acumulada (FPA). Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da distribuição binomial e saber plotar esses gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição binomial. Ela modela o número de sucessos em P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso . A fórmula para calcular a probabilidade de obter exatamente sucessos é:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso elevado ao número de sucessos.
  • é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade para cada possível valor de P(X = 0) = binom90 (0.4)^0 (0.6)^9 = 1 times 1 times 0.6^9 approx 0.0105 , ou seja, de 0 a 9. Vamos fazer isso passo a passo.
Por exemplo, para P(X = 1) = binom91 (0.4)^1 (0.6)^8 = 9 times 0.4 times 0.6^8 approx 0.0635 :
Para :
Fazemos isso para cada de 0 a 9.

Passo 4

Depois de calcular todas as probabilidades individuais, vamos construir a Função de Probabilidade (FDP). No eixo horizontal do gráfico, colocamos os valores de (de 0 a 9) e no eixo vertical, as probabilidades que calculamos. Cada ponto no gráfico representará a probabilidade de ocorrer exatamente aquele número de sucessos.

Passo 5

Agora, vamos construir a Função de Probabilidade Acumulada (FPA), que mostra a probabilidade de obter até P(X <= 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) sucessos. Para isso, somamos as probabilidades individuais de 0 até . Por exemplo, para :
Vamos calcular isso para cada de 0 a 9 e plotar no gráfico da FPA, onde no eixo horizontal temos e no vertical, a probabilidade acumulada até aquele .

Resposta

Calculamos as probabilidades para cada valor de de 0 a 9 usando a fórmula da distribuição binomial com e . Em seguida, construímos os gráficos da Função de Probabilidade e da Função de Probabilidade Acumulada, representando visualmente as probabilidades individuais e acumuladas dessa distribuição.

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