Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da injeção de um determinado soro, é 0,001, determinar a probabilidade de, entre 2.000 indivíduos: exatamente 3 sofrerem aquela reação;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Queremos descobrir a chance de, em um grupo de 2.000 pessoas, exatamente 3 delas terem uma reação ruim após receberem um soro. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que têm dois resultados possíveis (neste caso, ter ou não ter a reação).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula da distribuição binomial. A probabilidade de uma pessoa ter a reação é 0,001 (ou 0,1%), e o total de pessoas é 2.000. A gente quer saber a probabilidade de exatamente 3 pessoas terem essa reação.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o número total de tentativas (neste caso, 2.000 pessoas),
  • é o número de sucessos que queremos (3 reações),
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,001),
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher 3 pessoas entre 2.000.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial:
binom20003 = 2000!3!(2000 - 3)! = 2000 times 1999 times 19983 times 2 times 1 = 1.332.668.000
  1. Probabilidade elevada ao número de sucessos:
p^3 = (0,001)^3 = 0,000000001
  1. Probabilidade de não sucesso elevada ao restante das tentativas:
(1 - p)^1997 = (0,999)^1997
Esse último termo, , pode ser aproximado usando uma calculadora ou software, mas para simplificar, vamos considerar que ele é aproximadamente igual a , já que .

Passo 5

Agora, juntando tudo:
P(X = 3) = 1.332.668.000 times 0,000000001 times e^-2
P(X = 3) approx 1.332.668.000 times 0,000000001 times 0,1353 = 0,1801

Resposta

A probabilidade de exatamente 3 pessoas, entre 2.000, sofrerem uma reação nociva é aproximadamente 0,1801 ou 18,01%.

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