Considerando uma variável aleatória com distribuição binominal (9, 0.4) calcule a probabilidade de: Mais que 4 sucessos;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a probabilidade de obter mais que 4 sucessos em uma distribuição binomial com 9 tentativas e uma chance de 40% de sucesso em cada tentativa. Então, vamos precisar usar os conceitos de Distribuição Binomial e suas fórmulas para achar essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela descreve o número de sucessos em uma sequência de n tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade p de sucesso. No nosso caso, n = 9 e p = 0.4.

Passo 3

A probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é dada pela fórmula:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p^k é a probabilidade de ter exatamente k sucessos.
  • (1 - p)^n - k é a probabilidade de ter n - k insucessos.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de ter mais de 4 sucessos, ou seja, P(X > 4). Isso inclui as probabilidades de ter 5, 6, 7, 8 ou 9 sucessos. Então, vamos calcular cada uma dessas probabilidades e somá-las:
P(X > 4) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9)

Passo 5

Agora, vamos calcular cada termo usando a fórmula da distribuição binomial:
  1. P(X = 5):
P(X=5) = binom95 times 0.4^5 times 0.6^4
  1. P(X = 6):
P(X=6) = binom96 times 0.4^6 times 0.6^3
  1. P(X = 7):
P(X=7) = binom97 times 0.4^7 times 0.6^2
  1. P(X = 8):
P(X=8) = binom98 times 0.4^8 times 0.6^1
  1. P(X = 9):
P(X=9) = binom99 times 0.4^9 times 0.6^0

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. P(X = 5):
binom95 = 126 P(X=5) = 126 times 0.4^5 times 0.6^4 approx 126 times 0.01024 times 0.1296 approx 0.167
  1. P(X = 6):
binom96 = 84 P(X=6) = 84 times 0.4^6 times 0.6^3 approx 84 times 0.004096 times 0.216 approx 0.074
  1. P(X = 7):
binom97 = 36 P(X=7) = 36 times 0.4^7 times 0.6^2 approx 36 times 0.0016384 times 0.36 approx 0.021
  1. P(X = 8):
binom98 = 9 P(X=8) = 9 times 0.4^8 times 0.6^1 approx 9 times 0.00065536 times 0.6 approx 0.004
  1. P(X = 9):
binom99 = 1 P(X=9) = 1 times 0.4^9 times 0.6^0 approx 1 times 0.000262144 times 1 approx 0.00026

Resposta

Somando todas as probabilidades:
P(X > 4) approx 0.167 + 0.074 + 0.021 + 0.004 + 0.00026 approx 0.266
Então, a probabilidade de obter mais que 4 sucessos é de aproximadamente 26,6%.

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