Considerando uma variável aleatória com distribuição binominal (9, 0.4) calcule a probabilidade de: Os sucessos estarem situados entre 2 e 5, considerando intervalos fechados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros e . O que isso significa? Basicamente, estamos falando de 9 tentativas (como jogar uma moeda 9 vezes) e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é 40%. Queremos calcular a probabilidade de obter entre 2 e 5 sucessos, ou seja, 2, 3, 4 ou 5 sucessos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição binomial. Ela nos diz a probabilidade de obter exatamente sucessos em tentativas, e é dada por:
Aqui, é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

Como queremos a probabilidade de ter entre 2 e 5 sucessos, vamos calcular , , e e depois somar essas probabilidades.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para :
    Calculando o coeficiente binomial:
    Então:
  2. Para :
    Calculando o coeficiente binomial:
    Então:
  3. Para :
    Calculando o coeficiente binomial:
    Então:
  4. Para :
    Calculando o coeficiente binomial:
    Então:

Passo 5

Agora que temos todas as probabilidades individuais, vamos somá-las para obter a probabilidade total de ter entre 2 e 5 sucessos:

Resposta

A probabilidade de obter entre 2 e 5 sucessos em 9 tentativas, com probabilidade de sucesso de 40% em cada, é aproximadamente 83,29%.

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