Considerando uma variável aleatória com distribuição binominal (9, 0.4) calcule a probabilidade de: Os sucessos estarem situados entre 2 e 5, considerando intervalos fechados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. O que isso significa? Basicamente, estamos falando de 9 tentativas (como jogar uma moeda 9 vezes) e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é 40%. Queremos calcular a probabilidade de obter entre 2 e 5 sucessos, ou seja, 2, 3, 4 ou 5 sucessos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição binomial. Ela nos diz a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas, e é dada por:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher
sucessos em
tentativas.
Passo 3
Como queremos a probabilidade de ter entre 2 e 5 sucessos, vamos calcular
,
,
e
e depois somar essas probabilidades.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
-
Para
: Calculando o coeficiente binomial:Então: -
Para
: Calculando o coeficiente binomial:Então: -
Para
: Calculando o coeficiente binomial:Então: -
Para
: Calculando o coeficiente binomial:Então:
Passo 5
Agora que temos todas as probabilidades individuais, vamos somá-las para obter a probabilidade total de ter entre 2 e 5 sucessos:
Resposta
A probabilidade de obter entre 2 e 5 sucessos em 9 tentativas, com probabilidade de sucesso de 40% em cada, é aproximadamente 83,29%.