Considerando uma variável aleatória com distribuição binominal (9, 0.4) calcule a probabilidade de: Os sucessos estarem situados entre 2 e 5, considerando intervalos fechados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros e . O que isso significa? Basicamente, estamos falando de 9 tentativas (como jogar uma moeda 9 vezes) e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é 40%. Queremos calcular a probabilidade de obter entre 2 e 5 sucessos, ou seja, 2, 3, 4 ou 5 sucessos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição binomial. Ela nos diz a probabilidade de obter exatamente P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k sucessos em tentativas, e é dada por:
Aqui, é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

Como queremos a probabilidade de ter entre 2 e 5 sucessos, vamos calcular , , e e depois somar essas probabilidades.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
  1. Para P(X = 2) = binom92 (0.4)^2 (0.6)^7 :
    binom92 = 9!2! cdot 7! = 36
    Calculando o coeficiente binomial:
    P(X = 2) = 36 times 0.16 times 0.0279936 approx 0.1613
    Então:
    P(X = 3) = binom93 (0.4)^3 (0.6)^6
  2. Para binom93 = 9!3! cdot 6! = 84 :
    P(X = 3) = 84 times 0.064 times 0.046656 approx 0.2519
    Calculando o coeficiente binomial:
    P(X = 4) = binom94 (0.4)^4 (0.6)^5
    Então:
    binom94 = 9!4! cdot 5! = 126
  3. Para P(X = 4) = 126 times 0.0256 times 0.07776 approx 0.2519 :
    P(X = 5) = binom95 (0.4)^5 (0.6)^4
    Calculando o coeficiente binomial:
    binom95 = 9!5! cdot 4! = 126
    Então:
    P(X = 5) = 126 times 0.01024 times 0.1296 approx 0.1678
  4. Para :
    Calculando o coeficiente binomial:
    Então:

Passo 5

Agora que temos todas as probabilidades individuais, vamos somá-las para obter a probabilidade total de ter entre 2 e 5 sucessos:
P(2 <= X <= 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) approx 0.1613 + 0.2519 + 0.2519 + 0.1678 approx 0.8329

Resposta

A probabilidade de obter entre 2 e 5 sucessos em 9 tentativas, com probabilidade de sucesso de 40% em cada, é aproximadamente 83,29%.

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