Uma empresa recebeu uma encomenda para fundir 3 peças complicadas. A probabilidade de se conseguir um molde adequado é 0,4 , sendo o molde destruído quando a peça é retirada. Para atender à encomenda, qual a probabilidade de ser necessário fundir: no máximo 6 peças?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! A empresa recebeu um pedido para fazer 3 peças complicadas. Cada vez que tentamos fazer uma peça, há uma chance de 40% de conseguir um molde adequado. Além disso, cada vez que tentamos, o molde é destruído, ou seja, a gente precisa fazer um novo para a próxima peça. Queremos saber qual a probabilidade de precisar fazer no máximo 6 tentativas para conseguir as 3 peças. Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada tentativa de fazer uma peça é independente das outras, e a chance de sucesso em cada tentativa é de 40%, ou seja, . Como o molde se destrói a cada tentativa, cada tentativa é como se fosse uma nova tentativa independente.

Passo 3

Estamos procurando a probabilidade de conseguir exatamente 3 moldes adequados em no máximo 6 tentativas. Isso é um caso clássico da distribuição binomial negativa, onde queremos saber a probabilidade de conseguir um certo número de sucessos em um número específico de tentativas.

Passo 4

A fórmula para calcular a probabilidade de obter exatamente P(k) = binomk-1r-1 cdot p^r cdot (1-p)^k-r sucessos em tentativas é:
Onde:
  • é o coeficiente binomial.
  • é a probabilidade de sucesso.
  • é a probabilidade de fracasso.

Passo 5

Queremos calcular a probabilidade de conseguir 3 sucessos em no máximo 6 tentativas. Isso significa que vamos somar as probabilidades de conseguir 3 sucessos em 3, 4, 5 e 6 tentativas.

Passo 6

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
Para P(3) = binom22 cdot 0,4^3 cdot 0,6^0 = 1 cdot 0,064 cdot 1 = 0,064 :
P(4) = binom32 cdot 0,4^3 cdot 0,6^1 = 3 cdot 0,064 cdot 0,6 = 0,1152
Para P(5) = binom42 cdot 0,4^3 cdot 0,6^2 = 6 cdot 0,064 cdot 0,36 = 0,13824 :
P(6) = binom52 cdot 0,4^3 cdot 0,6^3 = 10 cdot 0,064 cdot 0,216 = 0,13824
Para :
Para :

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar a probabilidade total de conseguir as 3 peças em no máximo 6 tentativas:
Ptotal = 0,064 + 0,1152 + 0,13824 + 0,13824 = 0,45568

Resposta

A probabilidade de ser necessário fundir no máximo 6 peças para atender à encomenda é de aproximadamente 45,57%.

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