Considerando que a velocidade final do centro de massa do cilindro com a pessoa é da velocidade se o cilindro fosse um ponto material, qual é o momento de inércia do conjunto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a velocidade final do centro de massa de um cilindro com uma pessoa montada é 75% da velocidade que teria se o cilindro fosse considerado como um ponto material. O assunto aqui é Mecânica Rotacional, e para resolver, vamos precisar entender como o momento de inércia afeta a velocidade do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (I) é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é acelerar ou desacelerar a rotação do objeto.

Passo 3

Quando o cilindro é tratado como um ponto material, ele não tem momento de inércia significativo, então toda a energia está na movimentação linear. A velocidade nesse caso é .

Passo 4

Agora, quando consideramos o momento de inércia do cilindro, parte da energia vai para a movimentação rotacional além da movimentação linear. Isso faz com que a velocidade final seja menor.

Passo 5

Sabemos que a velocidade final com o momento de inércia é 75% da velocidade sem considerar esse momento. Então, podemos escrever:

Passo 6

A energia total do sistema com rotação é a soma da energia cinética linear e da energia cinética rotacional:
Onde:
  • é a massa do cilindro com a pessoa,
  • é a velocidade angular.

Passo 7

Assumindo que a rotação está relacionada à movimentação linear pela relação , onde é o raio do cilindro, podemos substituir na equação de energia.

Passo 8

Substituindo na equação, temos:
Já que a energia total sem rotação seria .

Passo 9

Simplificando a equação:

Passo 10

Fatorando dos dois lados:

Passo 11

Isolando o momento de inércia :

Passo 12

Sabendo que , substituímos na equação:

Passo 13

Calculando :

Passo 14

Portanto, o momento de inércia do conjunto é:

Resposta

O momento de inércia do conjunto é .

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