Considerando que a velocidade final do centro de massa do cilindro com a pessoa é 75 % da velocidade se o cilindro fosse um ponto material, qual é o momento de inércia do conjunto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a velocidade final do centro de massa de um cilindro com uma pessoa montada é 75% da velocidade que teria se o cilindro fosse considerado como um ponto material. O assunto aqui é Mecânica Rotacional, e para resolver, vamos precisar entender como o momento de inércia afeta a velocidade do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (I) é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é acelerar ou desacelerar a rotação do objeto.

Passo 3

Quando o cilindro é tratado como um ponto material, ele não tem momento de inércia significativo, então toda a energia está na movimentação linear. A velocidade nesse caso é .

Passo 4

Agora, quando consideramos o momento de inércia do cilindro, parte da energia vai para a movimentação rotacional além da movimentação linear. Isso faz com que a velocidade final seja menor.

Passo 5

Sabemos que a velocidade final com o momento de inércia é 75% da velocidade sem considerar esse momento. Então, podemos escrever:
v = 0,75 , v0

Passo 6

A energia total do sistema com rotação é a soma da energia cinética linear e da energia cinética rotacional:
12 M v^2 + 12 I omega^2
Onde:
  • é a massa do cilindro com a pessoa,
  • é a velocidade angular.

Passo 7

Assumindo que a rotação está relacionada à movimentação linear pela relação , onde é o raio do cilindro, podemos substituir na equação de energia.

Passo 8

Substituindo 12 M v^2 + 12 I ( vr )^2 = 12 M v0^2 na equação, temos:
Já que a energia total sem rotação seria .

Passo 9

Simplificando a equação:
M v^2 + I v^2r^2 = M v0^2

Passo 10

Fatorando v^2 ( M + Ir^2 ) = M v0^2 dos dois lados:

Passo 11

Isolando o momento de inércia I = r^2 ( M v0^2v^2 - M ) :

Passo 12

Sabendo que I = r^2 ( M v0^2(0,75 v0)^2 - M ) , substituímos na equação:
I = r^2 ( M0,75^2 - M )

Passo 13

Calculando I = r^2 ( M0,5625 - M ) :
I = r^2 ( M - 0,5625 M0,5625 )
I = r^2 ( 0,4375 M0,5625 )
I = r^2 ( 0,7778 M )

Passo 14

Portanto, o momento de inércia do conjunto é:
I = 0,7778 , M r^2

Resposta

O momento de inércia do conjunto é .

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