Considerando que a velocidade final do centro de massa do cilindro com a pessoa é
da velocidade se o cilindro fosse um ponto material, qual é o momento de inércia do conjunto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a velocidade final do centro de massa de um cilindro com uma pessoa montada é 75% da velocidade que teria se o cilindro fosse considerado como um ponto material. O assunto aqui é Mecânica Rotacional, e para resolver, vamos precisar entender como o momento de inércia afeta a velocidade do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (I) é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é acelerar ou desacelerar a rotação do objeto.
Passo 3
Quando o cilindro é tratado como um ponto material, ele não tem momento de inércia significativo, então toda a energia está na movimentação linear. A velocidade nesse caso é
.
Passo 4
Agora, quando consideramos o momento de inércia do cilindro, parte da energia vai para a movimentação rotacional além da movimentação linear. Isso faz com que a velocidade final
seja menor.
Passo 5
Sabemos que a velocidade final com o momento de inércia é 75% da velocidade sem considerar esse momento. Então, podemos escrever:
Passo 6
A energia total do sistema com rotação é a soma da energia cinética linear e da energia cinética rotacional:
Onde:
-
é a massa do cilindro com a pessoa, -
é a velocidade angular.
Passo 7
Assumindo que a rotação está relacionada à movimentação linear pela relação
, onde
é o raio do cilindro, podemos substituir
na equação de energia.
Passo 8
Substituindo
na equação, temos:
Já que a energia total sem rotação seria
.
Passo 9
Simplificando a equação:
Passo 10
Fatorando
dos dois lados:
Passo 11
Isolando o momento de inércia
:
Passo 12
Sabendo que
, substituímos na equação:
Passo 13
Calculando
:
Passo 14
Portanto, o momento de inércia do conjunto é:
Resposta
O momento de inércia do conjunto é
.
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