Considerar as relações de entrada-saída para vários sistemas em tempo contínuo e em tempo discreto, onde x(t) ou x(k) é a entrada.Verificar se as seguintes propriedades se aplicam:
II) x(2 t) - linear, invariante no tempo, causal, estável

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você mandou! A gente tem um sistema que, em tempo contínuo ou discreto, recebe uma entrada x(t) ou x(k) e produz uma saída. No caso específico, estamos olhando para o sistema onde a saída é y(t) = x(2t). Nosso objetivo é verificar se esse sistema é linear, invariante no tempo, causal e estável. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cada uma dessas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o sistema é linear. Linéaridade significa que o sistema deve obedecer aos princípios da adição e da homogeneidade. Em outras palavras, se a entrada for uma combinação de sinais, a saída deve ser a mesma combinação das saídas individuais.

Passo 3

Vamos testar a aditividade:
Se temos duas entradas x1(t) e x2(t), então:
y(t) = x1(2t) + x2(2t) = (x1 + x2)(2t)
Isso mostra que a soma das entradas resulta na soma das saídas, então a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, testamos a homogeneidade:
Se escalamos a entrada por uma constante a, temos:
y(t) = a cdot x(2t) = a cdot y(t)
Isso mostra que a saída também é escalada pela mesma constante, então a homogeneidade está satisfeita.

Passo 5

Como o sistema obedece tanto a aditividade quanto à homogeneidade, podemos concluir que o sistema é linear.

Passo 6

Vamos agora verificar se o sistema é invariante no tempo. Isso quer dizer que se a entrada for atrasada no tempo, a saída também deve ser atrasada da mesma forma.

Passo 7

Suponha que a entrada seja x(t - t0). A saída seria:
y(t) = x(2t - t0)
Para ser invariante no tempo, precisaríamos que isso fosse igual a y(t - t0) = x(2(t - t0)) = x(2t - 2t0)
Como x(2t - t0) neq x(2t - 2t0) em geral, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 8

Agora, vamos ver se o sistema é causal. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não do futuro.

Passo 9

No sistema y(t) = x(2t), a saída em um tempo t depende da entrada em 2t. Se t é positivo, 2t também é no futuro para t > 0. Isso significa que a saída depende do futuro da entrada, então o sistema não é causal.

Passo 10

Por último, vamos verificar se o sistema é estável. Um sistema é estável se, entradas limitadas geram saídas também limitadas.

Passo 11

Se a entrada x(t) é limitada, ou seja, existe um M tal que |x(t)| <= M para todo t, então:
|y(t)| = |x(2t)| <= M
Então, a saída também é limitada, o que significa que o sistema é estável.

Resposta

O sistema y(t) = x(2t) é linear e estável, mas não é invariante no tempo nem causal.

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