Considerar as relações de entrada-saída para vários sistemas em tempo contínuo e em tempo discreto, onde
ou
é a entrada.Verificar se as seguintes propriedades se aplicam:
II)
- linear, invariante no tempo, causal, estável
II)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você mandou! A gente tem um sistema que, em tempo contínuo ou discreto, recebe uma entrada
ou
e produz uma saída. No caso específico, estamos olhando para o sistema onde a saída é
. Nosso objetivo é verificar se esse sistema é linear, invariante no tempo, causal e estável. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cada uma dessas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o sistema é linear. Linéaridade significa que o sistema deve obedecer aos princípios da adição e da homogeneidade. Em outras palavras, se a entrada for uma combinação de sinais, a saída deve ser a mesma combinação das saídas individuais.
Passo 3
Vamos testar a aditividade:
Se temos duas entradas e
, então:
Isso mostra que a soma das entradas resulta na soma das saídas, então a aditividade está satisfeita.
Se temos duas entradas
Isso mostra que a soma das entradas resulta na soma das saídas, então a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, testamos a homogeneidade:
Se escalamos a entrada por uma constante , temos:
Isso mostra que a saída também é escalada pela mesma constante, então a homogeneidade está satisfeita.
Se escalamos a entrada por uma constante
Isso mostra que a saída também é escalada pela mesma constante, então a homogeneidade está satisfeita.
Passo 5
Como o sistema obedece tanto a aditividade quanto à homogeneidade, podemos concluir que o sistema é linear.
Passo 6
Vamos agora verificar se o sistema é invariante no tempo. Isso quer dizer que se a entrada for atrasada no tempo, a saída também deve ser atrasada da mesma forma.
Passo 7
Suponha que a entrada seja
. A saída seria:
Para ser invariante no tempo, precisaríamos que isso fosse igual a
Como em geral, o sistema não é invariante no tempo.
Para ser invariante no tempo, precisaríamos que isso fosse igual a
Como
Passo 8
Agora, vamos ver se o sistema é causal. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não do futuro.
Passo 9
No sistema
, a saída em um tempo
depende da entrada em
. Se
é positivo,
também é no futuro para
. Isso significa que a saída depende do futuro da entrada, então o sistema não é causal.
Passo 10
Por último, vamos verificar se o sistema é estável. Um sistema é estável se, entradas limitadas geram saídas também limitadas.
Passo 11
Se a entrada
é limitada, ou seja, existe um
tal que
para todo
, então:
Então, a saída também é limitada, o que significa que o sistema é estável.
Então, a saída também é limitada, o que significa que o sistema é estável.
Resposta
O sistema
é linear e estável, mas não é invariante no tempo nem causal.