Se considerarmos
e ausência de forças externas no movimento de uma corda vibrante, qual é o nome da equação diferencial parcial que devemos obter?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma corda vibrante onde o ângulo
que a corda faz com a horizontal é muito pequeno, ou seja,
. Também, não há forças externas agindo sobre a corda. O objetivo é descobrir o nome da equação diferencial parcial que descreve o movimento dessa corda nessas condições. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física das cordas vibrantes e como pequenas oscilações levam a uma equação específica.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma corda vibrante. Quando uma corda vibra, diferentes pontos nela se movem para cima e para baixo ao longo do tempo. Se o ângulo da vibração for muito pequeno, podemos usar uma aproximação simplificada porque
quando
é pequeno. Isso facilita os cálculos porque evita termos mais complicados na matemática.
Passo 3
Agora, consideramos a ausência de forças externas. Isso significa que a única força agindo na corda é a tensão interna. A tensão tenta restaurar a corda à sua posição de equilíbrio sempre que ocorre uma deflexão. Usando a segunda lei de Newton, podemos relacionar a força resultante com a aceleração dos pontos da corda.
Passo 4
Com essas considerações, a equação que descreve o movimento da corda começa a tomar forma. Ela relaciona a segunda derivada da posição vertical da corda em relação ao tempo com a segunda derivada em relação ao espaço. Matemáticamente, isso fica representado por:
Aqui,
é a posição vertical da corda em um ponto
e tempo
, e
é a velocidade de propagação das ondas na corda.
Passo 5
A equação que obtivemos é conhecida na física e matemática como a Equação das Ondas. Ela descreve como as ondas se propagam em diferentes meios, como cordas, ar ou água, dependendo das condições específicas.
Resposta
A equação diferencial parcial obtida é a Equação das Ondas.
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