Se considerarmos e ausência de forças externas no movimento de uma corda vibrante, qual é o nome da equação diferencial parcial que devemos obter?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma corda vibrante onde o ângulo que a corda faz com a horizontal é muito pequeno, ou seja, . Também, não há forças externas agindo sobre a corda. O objetivo é descobrir o nome da equação diferencial parcial que descreve o movimento dessa corda nessas condições. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de física das cordas vibrantes e como pequenas oscilações levam a uma equação específica.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma corda vibrante. Quando uma corda vibra, diferentes pontos nela se movem para cima e para baixo ao longo do tempo. Se o ângulo da vibração for muito pequeno, podemos usar uma aproximação simplificada porque quando é pequeno. Isso facilita os cálculos porque evita termos mais complicados na matemática.

Passo 3

Agora, consideramos a ausência de forças externas. Isso significa que a única força agindo na corda é a tensão interna. A tensão tenta restaurar a corda à sua posição de equilíbrio sempre que ocorre uma deflexão. Usando a segunda lei de Newton, podemos relacionar a força resultante com a aceleração dos pontos da corda.

Passo 4

Com essas considerações, a equação que descreve o movimento da corda começa a tomar forma. Ela relaciona a segunda derivada da posição vertical da corda em relação ao tempo com a segunda derivada em relação ao espaço. Matemáticamente, isso fica representado por:
Aqui, é a posição vertical da corda em um ponto e tempo , e é a velocidade de propagação das ondas na corda.

Passo 5

A equação que obtivemos é conhecida na física e matemática como a Equação das Ondas. Ela descreve como as ondas se propagam em diferentes meios, como cordas, ar ou água, dependendo das condições específicas.

Resposta

A equação diferencial parcial obtida é a Equação das Ondas.

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