Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como usar aproximações trigonométricas quando o ângulo é pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
cresce. Conforme
fica cada vez maior,
fica cada vez menor, ou seja, tende a zero. Isso é importante porque vamos usar essa informação para simplificar a expressão
.
Passo 3
Sabemos que para ângulos muito pequenos, o valor da tangente de um ângulo é aproximadamente igual ao próprio ângulo quando medido em radianos. Matematicamente, isso é representado por:
Como
tende a zero quando
tende ao infinito, podemos usar essa aproximação para simplificar
.
Passo 4
Substituindo a aproximação na sequência, temos:
Então, conforme
cresce,
se aproxima de 1.
Passo 5
Agora, vamos formalizar isso usando o limite:
Portanto, o limite da sequência
é 1.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 1.
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