Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências a_n abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência. a_n = n * tan(1/n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e como usar aproximações trigonométricas quando o ângulo é pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando cresce. Conforme fica cada vez maior, fica cada vez menor, ou seja, tende a zero. Isso é importante porque vamos usar essa informação para simplificar a expressão .

Passo 3

Sabemos que para ângulos muito pequenos, o valor da tangente de um ângulo é aproximadamente igual ao próprio ângulo quando medido em radianos. Matematicamente, isso é representado por:
Como tende a zero quando tende ao infinito, podemos usar essa aproximação para simplificar .

Passo 4

Substituindo a aproximação na sequência, temos:
Então, conforme cresce, se aproxima de 1.

Passo 5

Agora, vamos formalizar isso usando o limite:
Portanto, o limite da sequência é 1.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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