Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a sequência converge ou diverge. A gente vai usar conceitos de convergência de sequências e alguns testes matemáticos para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que compõe a sequência . Temos três partes principais:
  1. : Isso alterna o sinal da sequência a cada termo, tornando-a positiva ou negativa dependendo de .
  2. : A função cosseno de elevado a 100. Como o cosseno sempre está entre -1 e 1, ao elevar a 100, que é um número par, o resultado fica entre 0 e 1.
  3. : Isso é uma função exponencial que cresce muito rápido conforme aumenta.

Passo 3

Agora, queremos descobrir o comportamento dessa sequência quando tende ao infinito. Vamos olhar para cada parte:
  • O termo só altera o sinal, mas não afeta o crescimento ou a decrescimento do valor absoluto.
  • O vai gerar valores entre 0 e 1, já que está nessa faixa e estamos elevando a uma potência par.
  • O cresce exponencialmente, ou seja, fica muito grande muito rápido.

Passo 4

Vamos analisar o limite da sequência:
O numerador, , está limitado entre -1 e 1 devido ao e ao fato de estar entre 0 e 1. Já o denominador, , cresce para infinito.

Passo 5

Como o numerador está limitado e o denominador cresce sem limites, o quociente todo tende a zero. Isso significa que:

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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