Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a sequência
converge ou diverge. A gente vai usar conceitos de convergência de sequências e alguns testes matemáticos para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que compõe a sequência
. Temos três partes principais:
-
: Isso alterna o sinal da sequência a cada termo, tornando-a positiva ou negativa dependendo de . -
: A função cosseno de elevado a 100. Como o cosseno sempre está entre -1 e 1, ao elevar a 100, que é um número par, o resultado fica entre 0 e 1. -
: Isso é uma função exponencial que cresce muito rápido conforme aumenta.
Passo 3
Agora, queremos descobrir o comportamento dessa sequência quando
tende ao infinito. Vamos olhar para cada parte:
- O termo
só altera o sinal, mas não afeta o crescimento ou a decrescimento do valor absoluto. - O
vai gerar valores entre 0 e 1, já que está nessa faixa e estamos elevando a uma potência par. - O
cresce exponencialmente, ou seja, fica muito grande muito rápido.
Passo 4
Vamos analisar o limite da sequência:
O numerador,
, está limitado entre -1 e 1 devido ao
e ao fato de
estar entre 0 e 1. Já o denominador,
, cresce para infinito.
Passo 5
Como o numerador está limitado e o denominador cresce sem limites, o quociente todo tende a zero. Isso significa que:
Resposta
A sequência
converge e o limite é 0.
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