Enuncie todos os critérios dados em sala de aula para estabelecer a convergencia de sequèncias numéricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para listar todos os critérios que aprendemos em sala de aula para determinar se uma sequência numérica converge. Isso está dentro do estudo de Análise de Sequências, que é parte da Matemática que cuida de como as sequências se comportam conforme avançamos nos termos. Para resolver isso, vamos revisar cada critério um por um, explicando como eles funcionam.
Passo 2
1. Critério do Limite
Primeiro, o critério mais direto: se conseguimos calcular o limite da sequência quando ela tende ao infinito, e esse limite é um número real, então a sequência converge para esse número.
Exemplo: Se
, então a sequência
converge para
.
Como usar: Basta calcular o limite. Se existir e for finito, a sequência converge.
Passo 3
2. Critério do Termo Geral
Aqui, a gente olha para o comportamento dos termos da sequência. Se o limite dos termos não é zero, a sequência não pode convergir (a menos que ela esteja constantemente igual a algum valor, mas isso é um caso especial).
Exemplo: Se
, então a sequência
não converge para zero.
Como usar: Verifique o limite do termo geral. Se não for zero, a sequência não converge para zero.
Passo 4
3. Critério da Monotonia e Boundedness (Teorema da Convergência Monótona)
Este critério diz que se uma sequência é monótona (sempre aumentando ou sempre diminuindo) e está limitada (há um número que serve como limite superior ou inferior), então ela necessariamente converge.
Exemplo: Se
é crescente e está limitada acima, então ela converge.
Como usar: Verifique se a sequência é sempre crescente ou decrescente e se há um limite para até onde ela pode ir.
Passo 5
4. Critério do Squeeze (Teorema do Sandwich)
Às vezes, a sequência pode estar “presa” entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite. Se isso acontecer, a sequência em questão também converge para esse limite.
Exemplo: Se
para todo
, e
, então
.
Como usar: Encontre duas sequências que envolvem a sequência que você está analisando e que convergem para o mesmo valor.
Passo 6
5. Critério de Cauchy
Este critério é bem legal porque não exige que você conheça o limite. Uma sequência é de Cauchy se, para qualquer margem de erro que você escolher, os termos da sequência ficam todos próximos entre si à medida que n cresce.
Exemplo: Para todo
, existe um
tal que para todos
,
.
Como usar: Verifique se os termos da sequência ficam cada vez mais próximos, independentemente de qual termo você pegue à frente.
Passo 7
6. Critério da Recorrência Linear
Algumas sequências seguem uma relação de recorrência, e podemos determinar a convergência resolvendo essa relação.
Exemplo: Se
e
, então a sequência converge para
.
Como usar: Identifique a relação de recorrência e resolva para encontrar o limite.
Resposta
Então, resumindo, os critérios para estabelecer a convergência de sequências numéricas são:
- Critério do Limite
- Critério do Termo Geral
- Critério da Monotonia e Boundedness (Teorema da Convergência Monótona)
- Critério do Squeeze (Teorema do Sandwich)
- Critério de Cauchy
- Critério da Recorrência Linear
Esses critérios ajudam a verificar se uma sequência numérica vai chegar perto de um certo valor à medida que avançamos nos termos dela.
Exercícios relacionados
Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
Se considerarmos
e ausência de forças externas no movimento de uma corda vibrante, qual é o nome da equação diferencial parcial que devemos obter?
Com os resultados listados acima, estabeleça se as sequências
abaixo convergem ou divergem, dizendo qual critério usou. Quando for possivel calcule o limite da sequência.
a) Quando uma corda de violão está vibrando, ela emite uma única frequência?