Considerarndo que o par de funções fornecido são soluções da mesma E.D.O. linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o wronskiano de duas funções que são soluções da mesma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) linear homogênea de segunda ordem. O wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se essas funções são linearmente independentes, ou seja, se elas realmente formam uma solução geral da E.D.O. Para resolver isso, vamos precisar da definição do wronskiano e das derivadas das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções e é dado por:
Isso significa que calculamos o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções que temos:
Precisamos encontrar as derivadas dessas funções para montar o wronskiano.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada de :
Usando a regra do produto ( ), temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
Aplicando a mesma regra do produto:

Passo 6

Com as funções e suas derivadas calculadas, podemos montar o wronskiano:

Passo 7

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando cada termo:

Passo 8

Vamos juntar os termos semelhantes:
Percebe-se que e se cancelam:

Passo 9

Fatorando :
Sabemos que , então:

Resposta

O wronskiano das funções e é:

Exercícios relacionados

29-30 Calcule
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as Fórmulas (6) e (7).
29.
Considerarndo que o par de funções fornecido são soluções da mesma E.D.O. linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
e
Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados: