Considerarndo que o par de funções fornecido são soluções da mesma E.D.O. linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o wronskiano de duas funções que são soluções da mesma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) linear homogênea de segunda ordem. O wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se essas funções são linearmente independentes, ou seja, se elas realmente formam uma solução geral da E.D.O. Para resolver isso, vamos precisar da definição do wronskiano e das derivadas das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. O wronskiano de duas funções e é dado por:
Isso significa que calculamos o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções que temos:
Precisamos encontrar as derivadas dessas funções para montar o wronskiano.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada de :
Usando a regra do produto (), temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
Aplicando a mesma regra do produto:
Passo 6
Com as funções e suas derivadas calculadas, podemos montar o wronskiano:
Passo 7
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz: