Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (E.D.O) que é . Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o termo do lado direito é uma função conhecida, como um polinômio, exponencial, seno ou cosseno. Para resolver essa equação, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular da forma:
onde , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo e na terceira equação:

Passo 7

Com os valores encontrados, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Considerarndo que o par de funções fornecido são soluções da mesma E.D.O. linear homogênea de 2a Ordem, calcule o wronskiano.
29-30 Calcule
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as Fórmulas (6) e (7).
29.
Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
Determine a ordem de cada equação diferencial em questão e diga se a mesma é ou não uma equação linear.