Encontre a solução geral das E.D.Os abaixo utiliza o métodos dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (E.D.O) que é . Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o termo do lado direito é uma função conhecida, como um polinômio, exponencial, seno ou cosseno. Para resolver essa equação, precisamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, tentamos uma solução particular da forma:
onde , e são coeficientes que vamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Passo 7
Com os valores encontrados, a solução particular é: