primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as Fórmulas (6) e (7).
29.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a derivada em relação a do produto escalar e do produto vetorial entre dois vetores que dependem de . Os vetores são:
Vamos precisar usar as definições de produto escalar e produto vetorial, além das regras de derivação para funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar entre dois vetores é a soma das multiplicações das componentes correspondentes:
Agora, derivamos em relação a :
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. Para calcular, usamos a regra do determinante:
Calculando o determinante:
r1(t) times r2(t) = 3t^6,i - 2t^5,j
Então, temos:
ddt ( 3t^6,i - 2t^5,j ) = 18t^5,i - 10t^4,j
Agora, derivamos cada componente em relação a :
Resposta
A derivada do produto escalar é e a derivada do produto vetorial é .