29-30 Calcule
dd t[r1(t) cdot r2(t)] e dd t[r1(t) times r2(t)]
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as Fórmulas (6) e (7).
29. r1(t)=2 t i+3 t^2 j+t^3 k, r2(t)=t^4 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a derivada em relação a r1(t) = 2t,i + 3t^2,j + t^3,k do produto escalar e do produto vetorial entre dois vetores que dependem de r2(t) = t^4,k . Os vetores são:
Vamos precisar usar as definições de produto escalar e produto vetorial, além das regras de derivação para funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar r1(t) cdot r2(t) = (2t)(0) + (3t^2)(0) + (t^3)(t^4) = t^7 . O produto escalar entre dois vetores é a soma das multiplicações das componentes correspondentes:
ddt (t^7) = 7t^6
Agora, derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial r1(t) times r2(t) = i & j & k 2t & 3t^2 & t^3 0 & 0 & t^4 . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. Para calcular, usamos a regra do determinante:
i(3t^2 cdot t^4 - t^3 cdot 0) - j(2t cdot t^4 - t^3 cdot 0) + k(2t cdot 0 - 3t^2 cdot 0) = 3t^6,i - 2t^5,j + 0,k
Calculando o determinante:
r1(t) times r2(t) = 3t^6,i - 2t^5,j
Então, temos:
ddt ( 3t^6,i - 2t^5,j ) = 18t^5,i - 10t^4,j
Agora, derivamos cada componente em relação a :

Resposta

A derivada do produto escalar é e a derivada do produto vetorial é .

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