Suponha que uma população tenha distribuição
. Lembre que
e que a densidade desse modelo é
Determine:
O estimador de momentos para
.
O estimador de momentos para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o estimador de momentos para o parâmetro
de uma distribuição exponencial. Isso está dentro do estudo de Estatística e mais especificamente do Método dos Momentos. Para resolver, vamos precisar entender o que é o método dos momentos e como aplicá-lo na distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é o Método dos Momentos. Ele é uma técnica para estimar parâmetros de uma distribuição usando os momentos da amostra. Um momento é basicamente uma média ponderada das potências de uma variável aleatória. O primeiro momento, por exemplo, é a média.
Passo 3
No caso da distribuição exponencial
, sabemos que o valor esperado (ou média) é
. Esse é o nosso primeiro momento teórico.
Passo 4
Agora, vamos pensar na amostra que temos. Suponha que coletamos alguns dados
dessa distribuição. O primeiro momento amostral (ou a média da amostra) é calculado assim:
Essa média da amostra deve ser uma boa estimativa para o valor esperado da população.
Passo 5
Segundo o método dos momentos, igualamos o momento teórico ao momento amostral para encontrar o estimador do parâmetro. Ou seja:
Substituindo o valor esperado da distribuição exponencial:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o estimador de
:
Então, o estimador de momentos para
é o inverso da média da amostra.
Resposta
O estimador de momentos para
é dado por
, onde
é a média da amostra.