Suponha que uma população tenha distribuição Exp(lambda). Lembre que E(Exp(lambda))=1lambda e que a densidade desse modelo é
f(x)=lambda exp -lambda x x>0, lambda>0
Determine:
O estimador de momentos para lambda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o estimador de momentos para o parâmetro lambda de uma distribuição exponencial. Isso está dentro do estudo de Estatística e mais especificamente do Método dos Momentos. Para resolver, vamos precisar entender o que é o método dos momentos e como aplicá-lo na distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o Método dos Momentos. Ele é uma técnica para estimar parâmetros de uma distribuição usando os momentos da amostra. Um momento é basicamente uma média ponderada das potências de uma variável aleatória. O primeiro momento, por exemplo, é a média.

Passo 3

No caso da distribuição exponencial Exp(lambda), sabemos que o valor esperado (ou média) é E(Exp(lambda)) = 1lambda. Esse é o nosso primeiro momento teórico.

Passo 4

Agora, vamos pensar na amostra que temos. Suponha que coletamos alguns dados x1, x2, dots, xn dessa distribuição. O primeiro momento amostral (ou a média da amostra) é calculado assim:
barx = 1n sumi=1^n xi
Essa média da amostra deve ser uma boa estimativa para o valor esperado da população.

Passo 5

Segundo o método dos momentos, igualamos o momento teórico ao momento amostral para encontrar o estimador do parâmetro. Ou seja:
E(Exp(lambda)) = barx
Substituindo o valor esperado da distribuição exponencial:
1lambda = barx

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o estimador de lambda:
lambda = 1barx
Então, o estimador de momentos para lambda é o inverso da média da amostra.

Resposta

O estimador de momentos para lambda é dado por lambda = dfrac1barx, onde barx é a média da amostra.

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