Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
em que e são parâmetros escalares constantes e e são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes da velocidade inicial da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula no instante
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.a) o vetor velocidade para um instante qualquer

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula cuja aceleração varia com o tempo e está dada por:
Aqui, e são constantes, e e são os vetores unitários nas direções horizontal e vertical, respectivamente. A gente também sabe a velocidade inicial da partícula quando :
E a posição da partícula no tempo :
Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor velocidade para qualquer instante de tempo . Para isso, vamos usar as relações de movimento, que basicamente dizem que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração. Ou seja:
Aqui, é a velocidade inicial. Como a aceleração está nas direções horizontal e vertical de forma independente, podemos integrar cada componente separadamente.

Passo 3

Vamos integrar a componente horizontal da aceleração:
Integrando em relação ao tempo:
Aqui, é a velocidade inicial na direção horizontal.

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente vertical da aceleração:
Integrando em relação ao tempo:
Aqui, é a velocidade inicial na direção vertical.

Passo 5

Agora que temos as expressões para e , podemos escrever o vetor velocidade combinando as duas componentes:

Resposta

O vetor velocidade para um instante qualquer é:

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Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
em que e são parâmetros escalares constantes e e são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes da velocidade inicial da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula no instante
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.d) as coordenadas da posição inicial da partícula, quando