Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
a=bx t I+ay J
em que bx e ay são parâmetros escalares constantes e I e J são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes (vx0, vy0) da velocidade inicial (t0=0 s) da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula (x1, y1) no instante t1=1 s
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.a) o vetor velocidade V para um instante t qualquer

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula cuja aceleração varia com o tempo e está dada por:
a = bx t I + ay J
Aqui, bx e ay são constantes, e I e J são os vetores unitários nas direções horizontal e vertical, respectivamente. A gente também sabe a velocidade inicial da partícula quando t = 0:
(vx0, vy0)
E a posição da partícula no tempo t1 = 1, segundo:
(x1, y1)
Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor velocidade V para qualquer instante de tempo t. Para isso, vamos usar as relações de movimento, que basicamente dizem que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a integral da aceleração. Ou seja:
V(t) = integral a(t) , dt + V0
Aqui, V0 é a velocidade inicial. Como a aceleração está nas direções horizontal e vertical de forma independente, podemos integrar cada componente separadamente.

Passo 3

Vamos integrar a componente horizontal da aceleração:
ax(t) = bx t
Integrando em relação ao tempo:
vx(t) = integral bx t , dt = bx2 t^2 + vx0
Aqui, vx0 é a velocidade inicial na direção horizontal.

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente vertical da aceleração:
ay(t) = ay
Integrando em relação ao tempo:
vy(t) = integral ay , dt = ay t + vy0
Aqui, vy0 é a velocidade inicial na direção vertical.

Passo 5

Agora que temos as expressões para vx(t) e vy(t), podemos escrever o vetor velocidade V(t) combinando as duas componentes:
V(t) = vx(t) I + vy(t) J = ( bx2 t^2 + vx0 ) I + ( ay t + vy0 ) J

Resposta

O vetor velocidade para um instante t qualquer é:
V(t) = ( bx2 t^2 + vx0 ) I + ( ay t + vy0 ) J

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