Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
em que
e
são parâmetros escalares constantes e
e
são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
- as componentes
da velocidade inicial
da partícula
- e as coordenadas da posição da partícula
no instante
Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
3.d) as coordenadas
da posição inicial da partícula, quando
Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
3.d) as coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula cuja aceleração depende do tempo e das direções horizontal e vertical. A aceleração é dada por:
Aqui,
e
são constantes, e
e
são vetores unitários nas direções horizontal e vertical, respectivamente. A gente sabe a velocidade inicial da partícula
no tempo
e a posição
no tempo
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas da posição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a posição a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração para obter a velocidade e depois integrar a velocidade para obter a posição. Como a aceleração é dada em termos das componentes horizontal e vertical, vamos trabalhar com cada direção separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a direção horizontal. A aceleração nessa direção é:
Para encontrar a velocidade
, integramos a aceleração em relação ao tempo:
Onde
é a constante de integração. Sabemos que no tempo
, a velocidade é
, então:
Então, a expressão para a velocidade horizontal é:
Passo 4
Agora, vamos integrar a velocidade para obter a posição horizontal
:
Onde
é outra constante de integração. Sabemos que no tempo
, a posição é
, então:
Portanto, a posição horizontal é:
Passo 5
Agora, fazemos o mesmo para a direção vertical. A aceleração vertical é constante:
Integrando para a velocidade vertical
:
Usando a velocidade inicial
em
:
Então:
Passo 6
Integrando a velocidade vertical para obter a posição
:
Com a condição inicial
em
:
Logo, a posição vertical é:
Passo 7
Agora, usamos a condição no tempo
para encontrar
e
. Sabemos que:
E:
Passo 8
Resolvendo para
:
E para
:
Resposta
As coordenadas da posição inicial da partícula são: