Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
em que e são parâmetros escalares constantes e e são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
as componentes da velocidade inicial da partícula
e as coordenadas da posição da partícula no instante
Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
3.d) as coordenadas da posição inicial da partícula, quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula cuja aceleração depende do tempo e das direções horizontal e vertical. A aceleração é dada por:
Aqui, e são constantes, e e são vetores unitários nas direções horizontal e vertical, respectivamente. A gente sabe a velocidade inicial da partícula no tempo e a posição no tempo . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas da posição inicial .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a posição a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração para obter a velocidade e depois integrar a velocidade para obter a posição. Como a aceleração é dada em termos das componentes horizontal e vertical, vamos trabalhar com cada direção separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a direção horizontal. A aceleração nessa direção é:
Para encontrar a velocidade , integramos a aceleração em relação ao tempo:
Onde é a constante de integração. Sabemos que no tempo , a velocidade é , então:
Então, a expressão para a velocidade horizontal é:
Passo 4
Agora, vamos integrar a velocidade para obter a posição horizontal :
Onde é outra constante de integração. Sabemos que no tempo , a posição é , então:
Portanto, a posição horizontal é:
Passo 5
Agora, fazemos o mesmo para a direção vertical. A aceleração vertical é constante:
Integrando para a velocidade vertical :
Usando a velocidade inicial em :
Então:
Passo 6
Integrando a velocidade vertical para obter a posição :
Com a condição inicial em :
Logo, a posição vertical é:
Passo 7
Agora, usamos a condição no tempo para encontrar e . Sabemos que:
E:
Passo 8
Resolvendo para :
E para :
Resposta
As coordenadas da posição inicial da partícula são: