Considere que a aceleração de uma partícula seja dada por:
a=bx t I+ay J
em que bx e ay são parâmetros escalares constantes e I e J são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes (vx0, vy0) da velocidade inicial (t0=0 s) da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula (x1, y1) no instante t1=1 s
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.d) as coordenadas (x0, y0) da posição inicial da partícula, quando t=t0=0 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula cuja aceleração depende do tempo e das direções horizontal e vertical. A aceleração é dada por:
a = bx t I + ay J
Aqui, bx e ay são constantes, e I e J são vetores unitários nas direções horizontal e vertical, respectivamente. A gente sabe a velocidade inicial da partícula (vx0, vy0) no tempo t0 = 0,s e a posição (x1, y1) no tempo t1 = 1,s. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas da posição inicial (x0, y0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a posição a partir da aceleração, precisamos integrar a aceleração para obter a velocidade e depois integrar a velocidade para obter a posição. Como a aceleração é dada em termos das componentes horizontal e vertical, vamos trabalhar com cada direção separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a direção horizontal. A aceleração nessa direção é:
ax = bx t
Para encontrar a velocidade vx, integramos a aceleração em relação ao tempo:
vx(t) = integral ax , dt = integral bx t , dt = bx2 t^2 + C
Onde C é a constante de integração. Sabemos que no tempo t0 = 0,s, a velocidade é vx0, então:
vx0 = bx2 (0)^2 + C Rightarrow C = vx0
Então, a expressão para a velocidade horizontal é:
vx(t) = bx2 t^2 + vx0

Passo 4

Agora, vamos integrar a velocidade para obter a posição horizontal x(t):
x(t) = integral vx(t) , dt = integral (bx2 t^2 + vx0) dt = bx6 t^3 + vx0 t + D
Onde D é outra constante de integração. Sabemos que no tempo t0 = 0,s, a posição é x0, então:
x0 = bx6 (0)^3 + vx0 (0) + D Rightarrow D = x0
Portanto, a posição horizontal é:
x(t) = bx6 t^3 + vx0 t + x0

Passo 5

Agora, fazemos o mesmo para a direção vertical. A aceleração vertical é constante:
ay = ay
Integrando para a velocidade vertical vy(t):
vy(t) = integral ay , dt = ay t + E
Usando a velocidade inicial vy0 em t0 = 0,s:
vy0 = ay (0) + E Rightarrow E = vy0
Então:
vy(t) = ay t + vy0

Passo 6

Integrando a velocidade vertical para obter a posição y(t):
y(t) = integral vy(t) , dt = integral (ay t + vy0) dt = ay2 t^2 + vy0 t + F
Com a condição inicial y0 em t0 = 0,s:
y0 = ay2 (0)^2 + vy0 (0) + F Rightarrow F = y0
Logo, a posição vertical é:
y(t) = ay2 t^2 + vy0 t + y0

Passo 7

Agora, usamos a condição no tempo t1 = 1,s para encontrar x0 e y0. Sabemos que:
x(1) = bx6 (1)^3 + vx0 (1) + x0 = x1
E:
y(1) = ay2 (1)^2 + vy0 (1) + y0 = y1

Passo 8

Resolvendo para x0:
bx6 + vx0 + x0 = x1 Rightarrow x0 = x1 - bx6 - vx0
E para y0:
ay2 + vy0 + y0 = y1 Rightarrow y0 = y1 - ay2 - vy0

Resposta

As coordenadas da posição inicial da partícula são:
boxed x0 = x1 - dfracbx6 - vx0 y0 = y1 - dfracay2 - vy0

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