Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado. Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. Sabendo-se que e que . Determine a vazão de água que escoa pelo tubo.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um tubo de Venturi, que é usado para medir a vazão de um líquido. A matéria que vamos usar aqui é Mecânica dos Fluidos, especificamente os conceitos de equação da continuidade. Para resolver, vamos precisar entender como as áreas das seções do tubo e as velocidades do fluxo estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que nos foi dado:
A área da primeira seção, , é 2,5 vezes a área da segunda seção, :
O diâmetro da primeira seção, , é 10 cm:
Passo 3
Vamos calcular a área da primeira seção, . A fórmula da área de um círculo é:
Substituindo o valor de :
Passo 4
Agora, usando a relação entre as áreas que nos foi dada:
Podemos encontrar :
Passo 5
A próxima etapa é aplicar a equação da continuidade, que afirma que, para um fluxo incompressível em regime permanente:
onde:
é a vazão,
e são as áreas das seções,
e são as velocidades do fluxo nas respectivas seções.
Passo 6
Queremos encontrar a vazão . Mas para isso, precisamos relacionar as velocidades e . Usando a equação da continuidade:
Substituindo :
Passo 7
Agora, substituímos na equação da vazão:
Mas sabemos que , então:
Ou seja, a vazão é igual à área da primeira seção multiplicada pela velocidade do fluxo nessa seção.
Passo 8
Como não temos informações sobre a velocidade aplicada diretamente no enunciado, a resposta final ficará em termos da velocidade :
Resposta
A vazão de água que escoa pelo tubo é dada por:
onde é a velocidade do fluxo na primeira seção do tubo.