Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado. Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. Sabendo-se que e que . Determine a vazão de água que escoa pelo tubo.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um tubo de Venturi, que é usado para medir a vazão de um líquido. A matéria que vamos usar aqui é Mecânica dos Fluidos, especificamente os conceitos de equação da continuidade. Para resolver, vamos precisar entender como as áreas das seções do tubo e as velocidades do fluxo estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que nos foi dado:
  • A área da primeira seção, , é 2,5 vezes a área da segunda seção, :
  • O diâmetro da primeira seção, , é 10 cm:

Passo 3

Vamos calcular a área da primeira seção, . A fórmula da área de um círculo é:
Substituindo o valor de :

Passo 4

Agora, usando a relação entre as áreas que nos foi dada:
Podemos encontrar :

Passo 5

A próxima etapa é aplicar a equação da continuidade, que afirma que, para um fluxo incompressível em regime permanente:
onde:
  • é a vazão,
  • e são as áreas das seções,
  • e são as velocidades do fluxo nas respectivas seções.

Passo 6

Queremos encontrar a vazão . Mas para isso, precisamos relacionar as velocidades e . Usando a equação da continuidade:
Substituindo :

Passo 7

Agora, substituímos na equação da vazão:
Mas sabemos que , então:
Ou seja, a vazão é igual à área da primeira seção multiplicada pela velocidade do fluxo nessa seção.

Passo 8

Como não temos informações sobre a velocidade aplicada diretamente no enunciado, a resposta final ficará em termos da velocidade :

Resposta

A vazão de água que escoa pelo tubo é dada por:
onde é a velocidade do fluxo na primeira seção do tubo.

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