Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado. Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. Sabendo-se que A1=2,5 A2 e que d1=10 cm. Determine a vazão de água que escoa pelo tubo.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um tubo de Venturi, que é usado para medir a vazão de um líquido. A matéria que vamos usar aqui é Mecânica dos Fluidos, especificamente os conceitos de equação da continuidade. Para resolver, vamos precisar entender como as áreas das seções do tubo e as velocidades do fluxo estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que nos foi dado:
  • A área da primeira seção, A1 = 2,5 , A2 , é 2,5 vezes a área da segunda seção, d1 = 10 , cm = 0,10 , m :
  • O diâmetro da primeira seção, , é 10 cm:

Passo 3

Vamos calcular a área da primeira seção, A = pi ( d2 )^2 . A fórmula da área de um círculo é:
A1 = pi ( 0,102 )^2 = pi ( 0,05 )^2 = pi times 0,0025 approx 0,00785 , m^2
Substituindo o valor de :

Passo 4

Agora, usando a relação entre as áreas que nos foi dada:
A1 = 2,5 , A2
Podemos encontrar A2 = A12,5 = 0,007852,5 approx 0,00314 , m^2 :

Passo 5

A próxima etapa é aplicar a equação da continuidade, que afirma que, para um fluxo incompressível em regime permanente:
Q = A1 times v1 = A2 times v2
onde:
  • é a vazão,
  • e são as áreas das seções,
  • e são as velocidades do fluxo nas respectivas seções.

Passo 6

Queremos encontrar a vazão A1 times v1 = A2 times v2 implies v2 = A1A2 times v1 . Mas para isso, precisamos relacionar as velocidades v2 = 2,5 , A2A2 times v1 = 2,5 , v1 e . Usando a equação da continuidade:
Substituindo :

Passo 7

Agora, substituímos Q = A2 times v2 = A2 times 2,5 , v1 = 2,5 , A2 times v1 na equação da vazão:
Q = A1 times v1
Mas sabemos que , então:
Ou seja, a vazão é igual à área da primeira seção multiplicada pela velocidade do fluxo nessa seção.

Passo 8

Como não temos informações sobre a velocidade Q = A1 times v1 = 0,00785 , m^2 times v1 aplicada diretamente no enunciado, a resposta final ficará em termos da velocidade :

Resposta

A vazão de água que escoa pelo tubo é dada por:
Q = 0,00785 , m^2 times v1
onde é a velocidade do fluxo na primeira seção do tubo.

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