Uma partícula em movimento curvilíneo tem a componente horizontal da velocidade e a coordenada de altura definidas, respectivamente, por:
Vx & =50 ms-16 ms^2 t Y & =100 m-4 ms^2 t^2
Dado que no instante t=0 s, X=0 m, pede-se: 5.d) Para cada posição do item b, determine as componentes radial vrho e transversal vtheta do vetor velocidade em coordenadas polares

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo de forma curvilínea, com a velocidade horizontal Vx & =50 ms-16 ms^2 t Y & =100 m-4 ms^2 t^2 e a posição vertical definidas por:
No instante inicial , a posição horizontal é 0 metros. A gente precisa determinar, para cada posição dada no item anterior, as componentes radial e transversal do vetor velocidade, usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e conversão entre coordenadas cartesianas e polares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição horizontal Vx(t) = dXdt = 50 - 16t . Sabemos que a velocidade horizontal X(t) = integral Vx(t) , dt = integral (50 - 16t) , dt = 50t - 8t^2 + C é a derivada da posição em relação ao tempo:
0 = 50(0) - 8(0)^2 + C Rightarrow C = 0
Para encontrar X(t) = 50t - 8t^2 , integramos em relação ao tempo:
Como no instante , , substituímos para encontrar a constante :
Portanto, a posição horizontal é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade vertical Y(t) = 100 - 4t^2 . Sabemos que a posição vertical Vy(t) = dYdt = -8t é dada por:
A velocidade vertical é a derivada de em relação ao tempo:
Então, o vetor velocidade em coordenadas cartesianas é .

Passo 4

Para converter as componentes da velocidade de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, usamos as seguintes fórmulas:
vrho = X Vx + Y Vyrho
vtheta = X Vy - Y Vxrho
Onde rho = raizX^2 + Y^2 é a distância da partícula à origem, calculada por:

Passo 5

Vamos calcular rho(t) = raiz(50t - 8t^2)^2 + (100 - 4t^2)^2 :
Para simplificar, podemos deixar assim, já que o cálculo completo pode ser complexo.

Passo 6

Agora, substituímos vrho = (50t - 8t^2)(50 - 16t) + (100 - 4t^2)(-8t)rho(t) , vtheta = (50t - 8t^2)(-8t) - (100 - 4t^2)(50 - 16t)rho(t) , e nas fórmulas de e :

Passo 7

Podemos simplificar as expressões:
Para vrho = (50t cdot 50) - (50t cdot 16t) - (8t^2 cdot 50) + (8t^2 cdot 16t) - 800t + 32t^3rho(t) :
vtheta = (-400t^2 + 128t^3) - (5000 - 1600t - 200t^2 + 64t^3)rho(t)
E para :

Passo 8

Simplificando ainda mais:
Para vrho = 2500t - 800t^2 - 400t^2 + 128t^3 - 800t + 32t^3rho(t) = 2500t - 800t - 1200t^2 + 160t^3rho(t) :
vtheta = -400t^2 + 128t^3 - 5000 + 1600t + 200t^2 - 64t^3rho(t) = -5000 + 1600t - 200t^2 + 64t^3rho(t)
Para :

Passo 9

Finalmente, temos as expressões para as componentes radial e transversal da velocidade em função do tempo:
vrho(t) = 2500t - 800t - 1200t^2 + 160t^3rho(t) = 1700t - 1200t^2 + 160t^3rho(t)
vtheta(t) = -5000 + 1600t - 200t^2 + 64t^3rho(t)

Resposta

As componentes radial e transversal da velocidade em coordenadas polares são:
vrho(t) = 1700t - 1200t^2 + 160t^3raiz(50t - 8t^2)^2 + (100 - 4t^2)^2
e
vtheta(t) = -5000 + 1600t - 200t^2 + 64t^3raiz(50t - 8t^2)^2 + (100 - 4t^2)^2

Exercícios relacionados