Uma partícula em movimento curvilíneo tem a componente horizontal da velocidade e a coordenada de altura definidas, respectivamente, por:
Dado que no instante , pede-se: 5.d) Para cada posição do item , determine as componentes radial e transversal do vetor velocidade em coordenadas polares

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo de forma curvilínea, com a velocidade horizontal e a posição vertical definidas por:
No instante inicial , a posição horizontal é 0 metros. A gente precisa determinar, para cada posição dada no item anterior, as componentes radial e transversal do vetor velocidade, usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e conversão entre coordenadas cartesianas e polares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição horizontal . Sabemos que a velocidade horizontal é a derivada da posição em relação ao tempo:
Para encontrar , integramos em relação ao tempo:
Como no instante , , substituímos para encontrar a constante :
Portanto, a posição horizontal é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade vertical . Sabemos que a posição vertical é dada por:
A velocidade vertical é a derivada de em relação ao tempo:
Então, o vetor velocidade em coordenadas cartesianas é .

Passo 4

Para converter as componentes da velocidade de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, usamos as seguintes fórmulas:
Onde é a distância da partícula à origem, calculada por:

Passo 5

Vamos calcular :
Para simplificar, podemos deixar assim, já que o cálculo completo pode ser complexo.

Passo 6

Agora, substituímos , , e nas fórmulas de e :

Passo 7

Podemos simplificar as expressões:
Para :
E para :

Passo 8

Simplificando ainda mais:
Para :
Para :

Passo 9

Finalmente, temos as expressões para as componentes radial e transversal da velocidade em função do tempo:

Resposta

As componentes radial e transversal da velocidade em coordenadas polares são:
e

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em que e são parâmetros escalares constantes e e são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes da velocidade inicial da partícula
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    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.d) as coordenadas da posição inicial da partícula, quando
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