Uma partícula em movimento curvilíneo tem a componente horizontal da velocidade e a coordenada de altura definidas, respectivamente, por:
Dado que no instante t=0 s, X=0 m, pede-se: 5.d) Para cada posição do item b, determine as componentes radial vrho e transversal vtheta do vetor velocidade em coordenadas polares
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo de forma curvilínea, com a velocidade horizontal Vx & =50 ms-16 ms^2 t Y & =100 m-4 ms^2 t^2 e a posição vertical definidas por:
No instante inicial , a posição horizontal é 0 metros. A gente precisa determinar, para cada posição dada no item anterior, as componentes radial e transversal do vetor velocidade, usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e conversão entre coordenadas cartesianas e polares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição horizontal Vx(t) = dXdt = 50 - 16t . Sabemos que a velocidade horizontal X(t) = integral Vx(t) , dt = integral (50 - 16t) , dt = 50t - 8t^2 + C é a derivada da posição em relação ao tempo:
0 = 50(0) - 8(0)^2 + C Rightarrow C = 0
Para encontrar X(t) = 50t - 8t^2 , integramos em relação ao tempo:
Como no instante , , substituímos para encontrar a constante :
Portanto, a posição horizontal é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade vertical Y(t) = 100 - 4t^2 . Sabemos que a posição vertical Vy(t) = dYdt = -8t é dada por:
A velocidade vertical é a derivada de em relação ao tempo:
Então, o vetor velocidade em coordenadas cartesianas é .
Passo 4
Para converter as componentes da velocidade de coordenadas cartesianas para coordenadas polares, usamos as seguintes fórmulas:
vrho = X Vx + Y Vyrho
vtheta = X Vy - Y Vxrho
Onde rho = raizX^2 + Y^2 é a distância da partícula à origem, calculada por: