Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(T-3 I) neq 0.
II - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(P+I) neq 0
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas afirmações sobre projeções ortogonais no espaço tridimensional, . O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre projeções e determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que são projeções ortogonais e como calcular o determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Em , uma projeção ortogonal em uma reta significa que qualquer vetor será “projetado” nessa reta de forma perpendicular. Da mesma forma, uma projeção em um plano projeta vetores de maneira perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de alguns conceitos importantes sobre matrizes e determinantes. O determinante de uma matriz pode nos dizer coisas sobre as propriedades dessa matriz, como se ela é invertível ou não. Além disso, os valores próprios (ou autovalores) de uma projeção ortogonal são sempre 0 ou 1.

Passo 4

Vamos analisar a primeira afirmação:
I - Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .
Como é uma projeção, seus valores próprios são 0 e 1. Então, os autovalores de serão e . O determinante é o produto dos autovalores, então , que é diferente de zero. Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda afirmação:
II - Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .
Assim como antes, os valores próprios de são 0 e 1. Os autovalores de serão e . Então, , que também é diferente de zero. Portanto, a afirmação II também é verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a © Todas são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja F uma matriz 47 times 47 com 31 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 31, então F é diagonalizável.
II - Se B não é diagonalizável, então seu polinômio característico possui pelo menos uma raiz complexa não-real.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam A uma matriz invertível, lambda um autovalor de A e H o respectivo autoespaço. Então lambda^-1 é autovalor de A^-1 e o autoespaço associado é H.
II - Os autovalores de A^T são sempre iguais aos de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Relembrando, um sistema linear S: A cdot X=B é chamado de homogêneo se a matriz B é uma matriz nula. Neste caso, podemos concluir que o sistema S possui, pelo menos, a n-upla (0,0, ldots, 0) como solução.
Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr -19 & 40 & -8 -8 & 5 & 44 40 & 20 & 5 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -34
(B) 35
© -12
(D) 45
(E) -35
(F) -45
(G) 34
(H) 12
(I) Não sei