Considere as afirmativas abaixo:
I - Seja F uma matriz 47 times 47 com 31 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 31, então F é diagonalizável.
II - Se B não é diagonalizável, então seu polinômio característico possui pelo menos uma raiz complexa não-real.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas afirmações sobre matrizes e propriedades como autovalores e diagonalização. A matéria aqui envolve álgebra linear, especificamente conceitos de autovalores, diagonalizabilidade e posto de uma matriz. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável e como os autovalores influenciam isso.

Passo 2

Vamos analisar a afirmação I:
I - Seja uma matriz com 31 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 31, então é diagonalizável.
Primeiro, sabemos que o posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes, e está relacionado aos autovalores não nulos da matriz. Aqui, tem 31 autovalores reais distintos diferentes de zero e um posto de 31. Isso significa que tem exatamente 31 autovalores não nulos e, como são distintos, cada um contribui com uma dimensão única.
Para uma matriz ser diagonalizável, ela precisa ter um conjunto completo de autovetores linearmente independentes. Como os 31 autovalores são distintos, cada um deles tem um autovetor associado único. Além disso, como o posto é 31, os autovalores não nulos já cobrem essa parte da diagonalização. O restante dos autovalores são zeros, e se a multiplicidade geométrica de zero for igual à sua multiplicidade algébrica (o que geralmente ocorre quando os autovalores não zero são distintos), será diagonalizável.
Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II:
II - Se não é diagonalizável, então seu polinômio característico possui pelo menos uma raiz complexa não-real.
Aqui, a ideia é que se uma matriz não é diagonalizável, isso está relacionado aos seus autovalores e à existência de autovetores suficientes. No entanto, não necessariamente uma matriz não diagonalizável precisa ter autovalores complexos não reais.
Por exemplo, considere uma matriz que tem um autovalor real com multiplicidade maior que sua multiplicidade geométrica (como uma matriz Jordan). Essa matriz não é diagonalizável, mas todos os seus autovalores são reais. Portanto, a existência de um autovalor complexo não real não é uma condição necessária para que uma matriz não seja diagonalizável.
Assim, a afirmação II é falsa.

Resposta

(D) Apenas I é verdadeira.

Exercícios relacionados

Considere as afirmativas abaixo:
I - Sejam A uma matriz invertível, lambda um autovalor de A e H o respectivo autoespaço. Então lambda^-1 é autovalor de A^-1 e o autoespaço associado é H.
II - Os autovalores de A^T são sempre iguais aos de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Todas são verdadeiras.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A não é sobrejetiva.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente independente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(T-3 I) neq 0.
II - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(P+I) neq 0
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Relembrando, um sistema linear S: A cdot X=B é chamado de homogêneo se a matriz B é uma matriz nula. Neste caso, podemos concluir que o sistema S possui, pelo menos, a n-upla (0,0, ldots, 0) como solução.
Resolva os seguintes sistemas homogêneos: