A matriz
abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em
:
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A)
-34
(B)
35
©
-12
(D)
45
(E)
-35
(F)
-45
(G)
34
(H)
12
(I) Não sei
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz de rotação
em
e precisa encontrar o cosseno do ângulo de rotação. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre matrizes de rotação e como elas se relacionam com os ângulos que representam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda matriz de rotação em 3 dimensões tem uma propriedade importante: a soma dos elementos da diagonal principal, chamada traço da matriz (
Tr(R) = 1 + 2costheta ), está relacionada ao ângulo de rotação (
) pela fórmula:
Isso significa que, se calcularmos o traço da matriz
, podemos encontrar o cosseno do ângulo de rotação.
Passo 3
Agora, vamos calcular o traço da matriz
Tr(R) = -1945 + 545 + 545 = -19 + 5 + 545 = -945 = -0,2 . O traço é a soma dos elementos da diagonal principal:
Passo 4
Com o valor do traço, podemos usar a fórmula que relaciona o traço à
-0,2 = 1 + 2costheta :
Vamos isolar
:
Passo 5
Agora, convertemos
-0,6 = -610 = -35 para fração:
Resposta
O cosseno do ângulo de rotação é
. Portanto, a opção correta é a (E)
.
Exercícios relacionados
Relembrando, um sistema linear
S: A cdot X=B é chamado de homogêneo se a matriz
B é uma matriz nula. Neste caso, podemos concluir que o sistema
S possui, pelo menos, a n-upla
(0,0, ldots, 0) como solução.
Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
Considere as afirmativas abaixo:
I - SeT é uma projeção ortogonal em uma reta do
R^3 , então
det(T-3 I) neq 0 .
II - SeP é uma projeção ortogonal em um plano do
R^3 , então
det(P+I) neq 0 。
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Seja
A uma matriz simétrica
5 times 5 e
f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de
A é
7,1,2 , podemos afirmar que:
(A)f(v)>0 para todo
v neq 0 .
(B)f(v) <= 0 para todo
v e existe
w neq 0 com
f(w)=0 .
©f(v) >= 0 para todo
v e existe
w neq 0 com
f(w)=0 .
(D) existemv e
w tais que
f(v)<0 .
(E)f(v)<0 para todo
v neq 0 .
(F) Não sei
(A)
(B)
©
(D) existem
(E)
(F) Não sei
Calcule o polinômio característico da matriz
A abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)
(B)pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)^2
©pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)(4-lambda)
(D)pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)
(E)pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)^2
(F)pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)^2
(G)pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)(-2-lambda)
(H)pc^A(lambda)=(2-lambda)^2(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)^2
(I) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei