A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr -19 & 40 & -8 -8 & 5 & 44 40 & 20 & 5 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -34
(B) 35
© -12
(D) 45
(E) -35
(F) -45
(G) 34
(H) 12
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz de rotação em e precisa encontrar o cosseno do ângulo de rotação. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre matrizes de rotação e como elas se relacionam com os ângulos que representam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que toda matriz de rotação em 3 dimensões tem uma propriedade importante: a soma dos elementos da diagonal principal, chamada traço da matriz ( Tr(R) = 1 + 2costheta ), está relacionada ao ângulo de rotação ( ) pela fórmula:
Isso significa que, se calcularmos o traço da matriz , podemos encontrar o cosseno do ângulo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos calcular o traço da matriz Tr(R) = -1945 + 545 + 545 = -19 + 5 + 545 = -945 = -0,2 . O traço é a soma dos elementos da diagonal principal:

Passo 4

Com o valor do traço, podemos usar a fórmula que relaciona o traço à -0,2 = 1 + 2costheta :
2costheta = -0,2 - 1 2costheta = -1,2 costheta = -1,22 costheta = -0,6
Vamos isolar :

Passo 5

Agora, convertemos -0,6 = -610 = -35 para fração:

Resposta

O cosseno do ângulo de rotação é . Portanto, a opção correta é a (E) .

Exercícios relacionados

Relembrando, um sistema linear S: A cdot X=B é chamado de homogêneo se a matriz B é uma matriz nula. Neste caso, podemos concluir que o sistema S possui, pelo menos, a n-upla (0,0, ldots, 0) como solução.
Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(T-3 I) neq 0.
II - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(P+I) neq 0
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Seja A uma matriz simétrica 5 times 5 e f(v)=v^T A v a forma quadrática associada. Se o espectro de A é 7,1,2, podemos afirmar que:
(A) f(v)>0 para todo v neq 0.
(B) f(v) <= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
© f(v) >= 0 para todo v e existe w neq 0 com f(w)=0.
(D) existem v e w tais que f(v)<0.
(E) f(v)<0 para todo v neq 0.
(F) Não sei
Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr 2 & 0 & 0 & -7 & 7 & 4 & 5 & -4 4 & 2 & 1 & -3 & 1 & 7 & 2 & 4 5 & 0 & 2 & -2 & -2 & 7 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & -7 & -7 & -5 0 & 0 & 0 & -4 & -7 & -5 & -2 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -36 & 9 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 4 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)
(B) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)^2
© pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)(4-lambda)
(D) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)
(E) pc^A(lambda)=(2-lambda)^3(-5-lambda)^3(3-lambda)^2
(F) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^2(-3-lambda)^2(5-lambda)^2(-2-lambda)^2
(G) pc^A(lambda)=(-4-lambda)^3(-3-lambda)^3(5-lambda)(-2-lambda)
(H) pc^A(lambda)=(2-lambda)^2(-5-lambda)^2(3-lambda)^2(4-lambda)^2
(I) Não sei