Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear. A gente tem duas afirmações sobre matrizes e vetores, e precisamos descobrir quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos como núcleo de uma matriz (kernel), autovetores, autovalores e autoespaços. Vamos precisar lembrar o que cada um desses termos significa e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a afirmação I: “Se pertence ao núcleo de , então é um autovetor de .”
Núcleo de A: É o conjunto de todos os vetores tais que .
Autovetor: Um vetor é autovetor de se para algum escalar .
Agora, se está no núcleo de , então . Podemos escrever isso como . Então, satisfaz a definição de autovetor com . Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação II: “Sejam um autovalor da matriz e o respectivo autoespaço. Então é autovalor de , mas o autoespaço associado pode não ser .”
Autovalor de : Se é autovalor de , então é autovalor de porque .
Autoespaço de : Deve conter os mesmos autovetores de para o autovalor . Porém, pode haver mais vetores que não estavam no autoespaço original de .