Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
pertence ao núcleo de
, então
é um autovetor de
.
II - Sejam
um autovalor da matriz
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
, mas o autoespaço associado pode não ser
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se
II - Sejam
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear. A gente tem duas afirmações sobre matrizes e vetores, e precisamos descobrir quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos como núcleo de uma matriz (kernel), autovetores, autovalores e autoespaços. Vamos precisar lembrar o que cada um desses termos significa e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a afirmação I: “Se
pertence ao núcleo de
, então
é um autovetor de
.”
- Núcleo de A: É o conjunto de todos os vetores
tais que . - Autovetor: Um vetor
é autovetor de se para algum escalar .
Agora, se
está no núcleo de
, então
. Podemos escrever isso como
. Então,
satisfaz a definição de autovetor com
. Portanto, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação II: “Sejam
um autovalor da matriz
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
, mas o autoespaço associado pode não ser
.”
- Autovalor de
: Se é autovalor de , então é autovalor de porque . - Autoespaço de
: Deve conter os mesmos autovetores de para o autovalor . Porém, pode haver mais vetores que não estavam no autoespaço original de .
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.
Resposta
A alternativa correta é a © Todas são verdadeiras.