Considere as afirmativas abaixo:
I - Se pertence ao núcleo de , então é um autovetor de .
II - Sejam um autovalor da matriz e o respectivo autoespaço. Então é autovalor de , mas o autoespaço associado pode não ser .
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear. A gente tem duas afirmações sobre matrizes e vetores, e precisamos descobrir quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos como núcleo de uma matriz (kernel), autovetores, autovalores e autoespaços. Vamos precisar lembrar o que cada um desses termos significa e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a afirmação I: “Se pertence ao núcleo de , então é um autovetor de .”
  • Núcleo de A: É o conjunto de todos os vetores tais que .
  • Autovetor: Um vetor é autovetor de se para algum escalar .
Agora, se está no núcleo de , então . Podemos escrever isso como . Então, satisfaz a definição de autovetor com . Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II: “Sejam um autovalor da matriz e o respectivo autoespaço. Então é autovalor de , mas o autoespaço associado pode não ser .”
  • Autovalor de : Se é autovalor de , então é autovalor de porque .
  • Autoespaço de : Deve conter os mesmos autovetores de para o autovalor . Porém, pode haver mais vetores que não estavam no autoespaço original de .
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a © Todas são verdadeiras.

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A 3a coluna da matriz é múltipla de:
(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei
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Determinar o ponto de interseção da reta com o plano , onde
e .
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(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei