Considere as afirmativas abaixo:
I - Se v neq 0 pertence ao núcleo de A, então v é um autovetor de A.
II - Sejam lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então lambda^2 é autovalor de A^2, mas o autoespaço associado pode não ser H.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear. A gente tem duas afirmações sobre matrizes e vetores, e precisamos descobrir quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos como núcleo de uma matriz (kernel), autovetores, autovalores e autoespaços. Vamos precisar lembrar o que cada um desses termos significa e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a afirmação I: “Se v neq 0 pertence ao núcleo de A, então v é um autovetor de A.”
  • Núcleo de A: É o conjunto de todos os vetores v tais que Av = 0.
  • Autovetor: Um vetor v é autovetor de A se Av = lambda v para algum escalar lambda.
Agora, se v está no núcleo de A, então Av = 0. Podemos escrever isso como Av = 0 cdot v. Então, v satisfaz a definição de autovetor com lambda = 0. Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II: “Sejam lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então lambda^2 é autovalor de A^2, mas o autoespaço associado pode não ser H.”
  • Autovalor de A^2: Se lambda é autovalor de A, então lambda^2 é autovalor de A^2 porque A^2v = A(Av) = A(lambda v) = lambda Av = lambda (lambda v) = lambda^2 v.
  • Autoespaço de A^2: Deve conter os mesmos autovetores de A para o autovalor lambda^2. Porém, pode haver mais vetores que não estavam no autoespaço original H de A.
Portanto, a afirmação II também é verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a © Todas são verdadeiras.

Exercícios relacionados