Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano pi, onde
r:cx=-1+2 t y=5+3 t z=3-t e pi: 2 x-y+3 z-4=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Isso envolve um pouquinho de geometria analítica. Aqui, a gente vai precisar usar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano para descobrir onde elas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações da reta x = -1 + 2t y = 5 + 3t z = 3 - t e do plano 2x - y + 3z - 4 = 0 :
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Para o plano :

Passo 3

O próximo passo é substituir as expressões de 2(-1 + 2t) - (5 + 3t) + 3(3 - t) - 4 = 0 , e da reta na equação do plano . Isso vai nos permitir encontrar o valor de no qual a reta intercepta o plano.
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a equação passo a passo:
  1. Distribuir os coeficientes:
-2 + 4t - 5 - 3t + 9 - 3t - 4 = 0
  1. Agrupar os termos semelhantes:
(4t - 3t - 3t) + (-2 - 5 + 9 - 4) = 0
(-2t) + (-2) = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar -2t - 2 = 0 :
-2t = 2
t = -1

Passo 6

Com o valor de x = -1 + 2(-1) = -1 - 2 = -3 encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta y = 5 + 3(-1) = 5 - 3 = 2 para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
z = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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