Determinar o ponto de interseção da reta com o plano , onde e pi: 2 x-y+3 z-4=0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Isso envolve um pouquinho de geometria analítica. Aqui, a gente vai precisar usar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano para descobrir onde elas se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações da reta x = -1 + 2t y = 5 + 3t z = 3 - t e do plano 2x - y + 3z - 4 = 0 :
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Para o plano :
Passo 3
O próximo passo é substituir as expressões de 2(-1 + 2t) - (5 + 3t) + 3(3 - t) - 4 = 0 , e da reta na equação do plano . Isso vai nos permitir encontrar o valor de no qual a reta intercepta o plano.
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a equação passo a passo:
Distribuir os coeficientes:
-2 + 4t - 5 - 3t + 9 - 3t - 4 = 0
Agrupar os termos semelhantes:
(4t - 3t - 3t) + (-2 - 5 + 9 - 4) = 0
(-2t) + (-2) = 0
Passo 5
Agora, vamos isolar -2t - 2 = 0 :
-2t = 2
t = -1
Passo 6
Com o valor de x = -1 + 2(-1) = -1 - 2 = -3 encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta y = 5 + 3(-1) = 5 - 3 = 2 para encontrar as coordenadas do ponto de interseção: