Suponha que na cidade do Rio de Janeiro apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há de chances de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de . Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidades do tempo no Rio de Janeiro, especificamente se vai chover ou fazer sol. A gente vai usar conceitos de probabilidade e cadeias de Markov para resolver isso. Precisamos calcular a chance de, após muitos dias (20 anos), o primeiro dia de janeiro ser ensolarado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações dadas:
  • Se hoje está sol, tem 80% de chance de fazer sol no dia seguinte.
  • Se hoje está chuva, só tem 30% de chance de chover no dia seguinte, ou seja, 70% de chance de fazer sol.
Isso significa que temos duas probabilidades de transição entre os estados sol e chuva.

Passo 3

Vamos chamar:
  • S de “dia ensolarado”
  • R de “dia chuvoso”
As probabilidades de transição ficam assim:
  • P(S → S) = 0.8
  • P(S → R) = 0.2
  • P(R → S) = 0.7
  • P(R → R) = 0.3

Passo 4

Agora, queremos encontrar a distribuição estacionária, ou seja, a probabilidade que o sistema alcança depois de muitos dias, independente de onde começou. Vamos chamar essa probabilidade de estar em sol de π_S e de chuva de π_R.
Sabemos que:
π_S + π_R = 1

Passo 5

Para encontrar π_S e π_R, usamos as equações de equilíbrio:
π_S = π_S * P(S → S) + π_R * P(R → S)
Substituindo os valores:
π_S = π_S * 0.8 + π_R * 0.7

Passo 6

Como π_R = 1 - π_S, podemos substituir na equação:
π_S = 0.8π_S + 0.7(1 - π_S)

Passo 7

Vamos resolver a equação:
π_S = 0.8π_S + 0.7 - 0.7π_S
π_S - 0.8π_S + 0.7π_S = 0.7
(1 - 0.8 + 0.7)π_S = 0.7
0.9π_S = 0.7

Passo 8

Isolando π_S:
π_S = 0.7 / 0.9
π_S = 7/9

Resposta

A probabilidade aproximada de que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia seja ensolarado é .
Alternativa (B)

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Determinar o ponto de interseção da reta com o plano , onde
e .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se pertence ao núcleo de , então é um autovetor de .
II - Sejam um autovalor da matriz e o respectivo autoespaço. Então é autovalor de , mas o autoespaço associado pode não ser .
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos abaixo e a distância entre eles.
e
Considere os vetores e .
Determine um vetor que seja ortogonal a ambos e .