Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidades do tempo no Rio de Janeiro, especificamente se vai chover ou fazer sol. A gente vai usar conceitos de probabilidade e cadeias de Markov para resolver isso. Precisamos calcular a chance de, após muitos dias (20 anos), o primeiro dia de janeiro ser ensolarado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações dadas:
Se hoje está sol, tem 80% de chance de fazer sol no dia seguinte.
Se hoje está chuva, só tem 30% de chance de chover no dia seguinte, ou seja, 70% de chance de fazer sol.
Isso significa que temos duas probabilidades de transição entre os estados sol e chuva.
Passo 3
Vamos chamar:
S de “dia ensolarado”
R de “dia chuvoso”
As probabilidades de transição ficam assim:
P(S → S) = 0.8
P(S → R) = 0.2
P(R → S) = 0.7
P(R → R) = 0.3
Passo 4
Agora, queremos encontrar a distribuição estacionária, ou seja, a probabilidade que o sistema alcança depois de muitos dias, independente de onde começou. Vamos chamar essa probabilidade de estar em sol de π_S e de chuva de π_R.
Sabemos que:
π_S + π_R = 1
Passo 5
Para encontrar π_S e π_R, usamos as equações de equilíbrio:
π_S = π_S * P(S → S) + π_R * P(R → S)
Substituindo os valores:
π_S = π_S * 0.8 + π_R * 0.7
Passo 6
Como π_R = 1 - π_S, podemos substituir na equação:
π_S = 0.8π_S + 0.7(1 - π_S)
Passo 7
Vamos resolver a equação:
π_S = 0.8π_S + 0.7 - 0.7π_S
π_S - 0.8π_S + 0.7π_S = 0.7
(1 - 0.8 + 0.7)π_S = 0.7
0.9π_S = 0.7
Passo 8
Isolando π_S:
π_S = 0.7 / 0.9
π_S = 7/9
Resposta
A probabilidade aproximada de que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia seja ensolarado é .