Suponha que na cidade do Rio de Janeiro apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 80 % de chances de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 30 %. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 59
(B) 79
© 23
(D) 89
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre probabilidades do tempo no Rio de Janeiro, especificamente se vai chover ou fazer sol. A gente vai usar conceitos de probabilidade e cadeias de Markov para resolver isso. Precisamos calcular a chance de, após muitos dias (20 anos), o primeiro dia de janeiro ser ensolarado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações dadas:
  • Se hoje está sol, tem 80% de chance de fazer sol no dia seguinte.
  • Se hoje está chuva, só tem 30% de chance de chover no dia seguinte, ou seja, 70% de chance de fazer sol.
Isso significa que temos duas probabilidades de transição entre os estados sol e chuva.

Passo 3

Vamos chamar:
  • S de “dia ensolarado”
  • R de “dia chuvoso”
As probabilidades de transição ficam assim:
  • P(S → S) = 0.8
  • P(S → R) = 0.2
  • P(R → S) = 0.7
  • P(R → R) = 0.3

Passo 4

Agora, queremos encontrar a distribuição estacionária, ou seja, a probabilidade que o sistema alcança depois de muitos dias, independente de onde começou. Vamos chamar essa probabilidade de estar em sol de π_S e de chuva de π_R.
Sabemos que:
π_S + π_R = 1

Passo 5

Para encontrar π_S e π_R, usamos as equações de equilíbrio:
π_S = π_S * P(S → S) + π_R * P(R → S)
Substituindo os valores:
π_S = π_S * 0.8 + π_R * 0.7

Passo 6

Como π_R = 1 - π_S, podemos substituir na equação:
π_S = 0.8π_S + 0.7(1 - π_S)

Passo 7

Vamos resolver a equação:
π_S = 0.8π_S + 0.7 - 0.7π_S
π_S - 0.8π_S + 0.7π_S = 0.7
(1 - 0.8 + 0.7)π_S = 0.7
0.9π_S = 0.7

Passo 8

Isolando π_S:
π_S = 0.7 / 0.9
π_S = 7/9

Resposta

A probabilidade aproximada de que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia seja ensolarado é 79.
Alternativa (B)

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