Determine o ângulo entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o ângulo entre dois planos no espaço. Os planos dados são:
Para isso, vamos usar o conceito de vetores normais dos planos e a fórmula do ângulo entre dois vetores. Os vetores normais são perpendiculares aos planos e são dados pelos coeficientes de
,
e
em cada equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos
e
.
Para
, o vetor normal é:
Para
, o vetor normal é:
Passo 3
Agora que temos os vetores normais, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as módulos (comprimentos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores
e
:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
Passo 7
Para encontrar o ângulo
, aplicamos a função arcos (ou cos⁻¹):
Calculando isso com uma calculadora:
Resposta
O ângulo entre os planos
e
é de aproximadamente 49,1 graus.