Determine o ângulo entre os planos pi1=2 x-3 y+5 z-8=0 e pi2=3 x+2 y+5 z-4=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o ângulo entre dois planos no espaço. Os planos dados são:
pi1 = 2x - 3y + 5z - 8 = 0
pi2 = 3x + 2y + 5z - 4 = 0
Para isso, vamos usar o conceito de vetores normais dos planos e a fórmula do ângulo entre dois vetores. Os vetores normais são perpendiculares aos planos e são dados pelos coeficientes de , e em cada equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos n1 = lang<= 2, -3, 5 rang<= e n2 = lang<= 3, 2, 5 rang<= .
Para , o vetor normal é:
Para , o vetor normal é:

Passo 3

Agora que temos os vetores normais, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
costheta = n1 cdot n2|n1| cdot |n2|
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as módulos (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (2)(3) + (-3)(2) + (5)(5) = 6 - 6 + 25 = 25 :

Passo 5

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores |n1| = raiz2^2 + (-3)^2 + 5^2 = raiz4 + 9 + 25 = raiz38 e |n2| = raiz3^2 + 2^2 + 5^2 = raiz9 + 4 + 25 = raiz38 :

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
costheta = 25raiz38 cdot raiz38 = 2538

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta = arccos(2538) , aplicamos a função arcos (ou cos⁻¹):
theta approx arccos(0,6579) approx 49,1^circ
Calculando isso com uma calculadora:

Resposta

O ângulo entre os planos e é de aproximadamente 49,1 graus.

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