Determine o ângulo entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o ângulo entre dois planos no espaço. Os planos dados são:
Para isso, vamos usar o conceito de vetores normais dos planos e a fórmula do ângulo entre dois vetores. Os vetores normais são perpendiculares aos planos e são dados pelos coeficientes de , e em cada equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos e .
Para , o vetor normal é:
Para , o vetor normal é:

Passo 3

Agora que temos os vetores normais, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as módulos (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores e :

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:

Passo 7

Para encontrar o ângulo , aplicamos a função arcos (ou cos⁻¹):
Calculando isso com uma calculadora:

Resposta

O ângulo entre os planos e é de aproximadamente 49,1 graus.

Exercícios relacionados

Verifique se a reta que passa pelos pontos e é perpendicular à reta que que passa pelos pontos e .
Seja uma matriz quadrada com . Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto de linhas de é linearmente independente.
II - não é injetiva.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Não sei
Sabemos que existe inversivel tal que:
A 3a coluna da matriz é múltipla de:
(A)
(B)
©
(D)
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se pertence ao núcleo de , então é um autovetor de .
II - Sejam um autovalor da matriz e o respectivo autoespaço. Então é autovalor de , mas o autoespaço associado pode não ser .
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei