Calcule o polinômio característico da matriz abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz que foi dada. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e seus polinômios característicos. Pra resolver, vamos precisar entender como trabalhar com blocos de matrizes e aplicar a teoria dos polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz e identificar se ela tem alguma estrutura especial que pode facilitar nossos cálculos. Observando bem, percebemos que a matriz é uma matriz em blocos, ou seja, ela está dividida em partes menores chamadas blocos que formam a matriz inteira.

Passo 3

Quando uma matriz é em blocos e tem blocos diagonais, o polinômio característico da matriz inteira é o produto dos polinômios característicos de cada bloco diagonal. Então, vamos identificar esses blocos diagonais na matriz .

Passo 4

Identificamos alguns blocos na diagonal principal da matriz . Cada bloco pode ser tratado separadamente para encontrar seu polinômio característico. Depois, multiplicamos esses polinômios para obter o polinômio característico total da matriz .

Passo 5

Depois de calcular os polinômios característicos de cada bloco, juntamos tudo multiplicando esses polinômios. Isso nos dá o polinômio característico completo da matriz .

Resposta

O polinômio característico da matriz é:
Portanto, a resposta correta é a opção ©.

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Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
Os cidadãos de um determinado país estão em parte dentro das fronteiras do seu país e em parte espalhados pelo resto do mundo. O fluxo migratório desses cidadãos é modelado assim: a cada ano, dos que estão no país se mudam para o exterior, enquanto dos que estão no exterior retornam ao seu país. Mantendo-se esta tendência, qual será a percentagem dos cidadãos vivendo no país daqui a 30 anos? Assinale a abaixo a resposta que melhor aproxima esta percentagem.
Observações:
  • Nesta modelagem super-simplificada, não estão sendo considerados inúmeros outros fatores relevantes, como nascimentos, óbitos, naturalizações, dentre outros.
  • É interessante observar que a distribuição de longo prazo da população independe (praticamente) da distribuição inicial. Isto é uma característica de processos modelados por Cadeias de Markov (se tiver interesse, pesquise por este nome).
    (A)
    (B)
    ©
    (D)
    (E)
    (F)
    (G)
    (H)
    (I) Não sei
( ) Se o conjunto de vetores de um espaço vetorial é linearmente independente então o conjunto é linearmente independente.
( ) Os conjuntos e geram o mesmo subespaço vetorial do .
( ) O conjunto é irracional é um subespaço vetorial de .
Escolha uma opção:a. F-V-Vb. V-F-Vc. V-F-Fd. F-V-Fe. F-F-Vf. V-V-F
Considere as afirmativas abaixo:
I - A matriz possui uma base de autovetores.
II - Se e então é simétrica.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei