Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=[rrrrrrrr 3 & 0 & 0 & -1 & 4 & 1 & 1 & 5 -3 & 2 & 1 & 4 & -4 & -5 & 1 & 6 -3 & -1 & 4 & -6 & 5 & -7 & 7 & -7 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 6 & -7 0 & 0 & 0 & -16 & 6 & 0 & -3 & 3 0 & 0 & 0 & -2 & 2 & 2 & -5 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 ]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) pc^A(lambda)=(-5-lambda)^2(4-lambda)^2(-4-lambda)^2(5-lambda)^2
(B) pc^A(lambda)=(-5-lambda)^3(4-lambda)^3(-4-lambda)^2
© pc^A(lambda)=(-5-lambda)^3(4-lambda)^2(-4-lambda)^2(5-lambda)
(D) pc^A(lambda)=(3-lambda)^3(2-lambda)^3(-2-lambda)^2
(E) pc^A(lambda)=(3-lambda)^3(2-lambda)^2(-2-lambda)^2(-3-lambda)
(F) pc^A(lambda)=(-5-lambda)^3(4-lambda)^3(-4-lambda)(5-lambda)
(G) pc^A(lambda)=(3-lambda)^3(2-lambda)^3(-2-lambda)(-3-lambda)
(H) pc^A(lambda)=(3-lambda)^2(2-lambda)^2(-2-lambda)^2(-3-lambda)^2
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz que foi dada. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e seus polinômios característicos. Pra resolver, vamos precisar entender como trabalhar com blocos de matrizes e aplicar a teoria dos polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz e identificar se ela tem alguma estrutura especial que pode facilitar nossos cálculos. Observando bem, percebemos que a matriz é uma matriz em blocos, ou seja, ela está dividida em partes menores chamadas blocos que formam a matriz inteira.

Passo 3

Quando uma matriz é em blocos e tem blocos diagonais, o polinômio característico da matriz inteira é o produto dos polinômios característicos de cada bloco diagonal. Então, vamos identificar esses blocos diagonais na matriz .

Passo 4

Identificamos alguns blocos na diagonal principal da matriz . Cada bloco pode ser tratado separadamente para encontrar seu polinômio característico. Depois, multiplicamos esses polinômios para obter o polinômio característico total da matriz .

Passo 5

Depois de calcular os polinômios característicos de cada bloco, juntamos tudo multiplicando esses polinômios. Isso nos dá o polinômio característico completo da matriz .

Resposta

O polinômio característico da matriz pc^A(lambda) = (-5 - lambda)^3(4 - lambda)^2(-4 - lambda)^2(5 - lambda) é:
Portanto, a resposta correta é a opção ©.

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