Considere agora que o desvio-padrão da população é igual a 3 min . Para qual valor da média a probabilidade de erroneamente julgar que o tempo médio de espera para atendimento não é superior a 20 minutos é de 10 % ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que o desvio-padrão da população é de 3 minutos. Queremos descobrir qual deve ser a média dos tempos de espera para que haja uma chance de 10% de errar ao julgar que esse tempo médio não é superior a 20 minutos. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição normal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Quando sabemos o desvio-padrão da população, podemos usar a distribuição normal para calcular probabilidades relacionadas à média. A distribuição normal é simétrica e é definida pela média (μ) e pelo desvio-padrão (σ).

Passo 3

Queremos encontrar a média (μ) tal que a probabilidade de o tempo médio de espera ser menor ou igual a 20 minutos seja de 10%. Isso pode ser representado pela função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição normal:
P(X <= 20) = 0,10
Onde é o tempo médio de espera.

Passo 4

Para resolver isso, precisamos encontrar o valor z correspondente a uma probabilidade de 10% na distribuição normal padrão. Esse valor z é conhecido como o percentil 10. Consultando a tabela da distribuição normal, vemos que:
z = -1,2816

Passo 5

Agora, usamos a fórmula de padronização da distribuição normal:
z = X - musigma
Queremos encontrar μ, então reorganizamos a fórmula:
mu = X - z times sigma
Substituindo os valores que temos:
mu = 20 - (-1,2816) times 3

Passo 6

Calculando os valores:
mu = 20 + 1,2816 times 3 = 20 + 3,8448 = 23,8448

Resposta

A média dos tempos de espera deve ser aproximadamente 23,84 minutos para que a probabilidade de errar ao julgar que o tempo médio não é superior a 20 minutos seja de 10%.

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