Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre: O polinômio minimal de e verifique se é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear em representada por uma matriz específica. Nosso objetivo é encontrar o polinômio minimal de e verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios característicos, autovalores e a condição para uma matriz ser diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade.
A matriz de é:
E a matriz identidade em é:
Então, fica:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir isso:
Então:
Portanto, o polinômio característico é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de resolvendo a equação :
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Então, o único autovalor de é , com multiplicidade 2.
Passo 4
Com os autovalores em mãos, podemos determinar o polinômio minimal. O polinômio minimal é o menor polinômio monic que anula a matriz . Ele divide o polinômio característico e tem os mesmos autovalores, possivelmente com menor multiplicidade.
Como temos um único autovalor com multiplicidade 2, vamos verificar se o polinômio minimal é de grau 1 ou 2.
Para isso, precisamos verificar se a matriz é a matriz nula ou não:
Essa matriz não é a nula, então o polinômio minimal não pode ser de grau 1. Portanto, o polinômio minimal de é igual ao polinômio característico:
Passo 5
Agora, vamos verificar se é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se o número de autovalores distintos for igual à dimensão do espaço, ou se para cada autovalor, a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica.
Aqui, temos apenas um autovalor com multiplicidade algébrica 2. Vamos encontrar o espaço próprio para ver a multiplicidade geométrica.
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Ou seja, . Então, o espaço próprio correspondente a é gerado por vetores da forma , que é uma dimensão.
Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2), a matriz não é diagonalizável.