Considere alpha a base canônica de R^2 e T: R^2 R^2 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[cc 5 & -1 1 & 3 ]
Encontre: O polinômio minimal de T e verifique se T é diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear em representada por uma matriz específica. Nosso objetivo é encontrar o polinômio minimal de e verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios característicos, autovalores e a condição para uma matriz ser diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de [T] = 5 & -1 1 & 3 . O polinômio característico é dado por I = 1 & 0 0 & 1 , onde [T] - lambda I = 5 - lambda & -1 1 & 3 - lambda é a matriz identidade.
A matriz de det([T] - lambda I) = (5 - lambda)(3 - lambda) - (-1)(1) = (5 - lambda)(3 - lambda) + 1 é:
(5 - lambda)(3 - lambda) = 15 - 5lambda - 3lambda + lambda^2 = lambda^2 - 8lambda + 15
E a matriz identidade det([T] - lambda I) = lambda^2 - 8lambda + 15 + 1 = lambda^2 - 8lambda + 16 em p(lambda) = lambda^2 - 8lambda + 16 é:
Então, fica:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir isso:
Então:
Portanto, o polinômio característico é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de lambda^2 - 8lambda + 16 = 0 resolvendo a equação lambda = 8 pm raiz64 - 642 = 8 pm 02 = 4 :
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Então, o único autovalor de é , com multiplicidade 2.

Passo 4

Com os autovalores em mãos, podemos determinar o polinômio minimal. O polinômio minimal é o menor polinômio monic que anula a matriz [T] - 4I = 5 - 4 & -1 1 & 3 - 4 = 1 & -1 1 & -1 . Ele divide o polinômio característico e tem os mesmos autovalores, possivelmente com menor multiplicidade.
Como temos um único autovalor mT(lambda) = lambda^2 - 8lambda + 16 com multiplicidade 2, vamos verificar se o polinômio minimal é de grau 1 ou 2.
Para isso, precisamos verificar se a matriz é a matriz nula ou não:
Essa matriz não é a nula, então o polinômio minimal não pode ser de grau 1. Portanto, o polinômio minimal de é igual ao polinômio característico:

Passo 5

Agora, vamos verificar se 1 & -1 1 & -1 v1 v2 = 0 0 é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se o número de autovalores distintos for igual à dimensão do espaço, ou se para cada autovalor, a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica.
Aqui, temos apenas um autovalor v1 - v2 = 0 v1 - v2 = 0 com multiplicidade algébrica 2. Vamos encontrar o espaço próprio para ver a multiplicidade geométrica.
Resolvendo 1 1 :
Isso nos dá as equações:
Ou seja, . Então, o espaço próprio correspondente a é gerado por vetores da forma , que é uma dimensão.
Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2), a matriz não é diagonalizável.

Resposta

O polinômio minimal de é e não é diagonalizável.

Exercícios relacionados

Verifique se cada operador linear abaixo é diagonalizável:
(e) T: M(2,2) M(2,2) tal que T(A)=A^T.
Questão 2 (1,2) Julgue os itens como verdadeiro ou falso e justifique a sua resposta.
Se T: R^2 R^2 possui autovetores v1=(-2.1) e v2=(3,1) associados aos autovalores lambda1=3 e lambda2=-1, respectivamente, então T(-1.3)=(-15,3).
Considere alpha a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[ccc 2 & k & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 ]
Determine o valor de k para que o operador T seja diagonalizável.
Decida se os vetores de R^3 dados são linearmente dependentes ou não nos casos seguintes.
u=(1,2,3), v=(0,0,0), w=(1,5,6).