Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Determine o valor de k para que o operador T seja diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar o valor de que faz com que o operador linear seja diagonalizável. A gente está trabalhando com matrizes e propriedades de operadores lineares, mais especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável e trabalhar com autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela pode ser escrita na forma , onde é uma matriz diagonal e é uma matriz cujas colunas são os autovetores de . Isso acontece se e somente se tem um conjunto completo de autovetores, ou seja, se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores for igual à dimensão da matriz.
Passo 3
Vamos começar encontrando os autovalores da matriz de [T] = 2 & k & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 . Os autovalores são as soluções da equação característica [T] - lambda I = 2 - lambda & k & 0 0 & 2 - lambda & 1 0 & 0 & 3 - lambda , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
A matriz de é:
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz para achar a equação característica:
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(2 - lambda)^2 (3 - lambda) = 0
As soluções são:
lambda = 2 (com muéé
Passo 6
Para que seja diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores deve ser igual a 3 (a dimensão do espaço). Isso significa que cada autovalor deve ter sua multiplicidade geométrica igual à sua multiplicidade algébrica.
Vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
Passo 7
Começando com [T] - 2I = 0 & k & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 . A multiplicidade algébrica é 2, então precisamos que a dimensão do espaço nulo de 0x1 + kx2 + 0x3 = 0 0x1 + 0x2 + x3 = 0 0x1 + 0x2 + x3 = 0 seja 2.
Calculando k x2 = 0 :
Encontramos o núcleo dessa matriz resolvendo :
Da segunda e terceira equações, vemos que . Da primeira equação:
Para que haja mais soluções além de , ou seja, para que haja infinitas soluções e, assim, uma multiplicidade geométrica maior que 1, precisamos que .
Da segunda e terceira equações, ainda , mas a primeira equação já é satisfeita para qualquer e . Então, os autovetores correspondentes a são da forma , o que forma um espaço de dimensão 2. Portanto, a multiplicidade geométrica de é 2.
Passo 9
Agora, para o autovalor [T] - 3I = -1 & k & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 , a multiplicidade algébrica é 1. Vamos verificar a multiplicidade geométrica.
Calculando - x1 + k x2 = 0 - x2 + x3 = 0 0 = 0 :
Resolvendо :
Da segunda equação, . Da primeira, . Então, os autovetores são da forma , que também formam um espaço de dimensão 1. Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1.
Passo 10
Como com a multiplicidade geométrica de é 2 e a de é 1, a soma é 3, que é igual à dimensão do espaço. Isso significa que a matriz é diagonalizável quando .
Resposta
O valor de que faz com que o operador seja diagonalizável é .