Decida se os vetores de R^3 dados são linearmente dependentes ou não nos casos seguintes.
u1=(1,2,5), u2=(1,3,1), u3=(2,5,7), u4=(3,1,4),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se os vetores dados em são linearmente dependentes ou não. Estamos lidando com vetores no espaço tridimensional, e para resolver isso, vamos precisar lembrar sobre combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem linearmente dependentes. Basicamente, um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se não for possível, eles são linearmente independentes.

Passo 3

No nosso caso, temos quatro vetores em . Uma regra importante aqui é que em , não podemos ter mais que vetores linearmente independentes. Então, já de cara, como temos 4 vetores em , eles são necessariamente linearmente dependentes.

Passo 4

Para comprovar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante ou verificar o posto da matriz. Se o posto for menor que o número de vetores, eles são dependentes. Mas, como já sabemos pela regra que 4 vetores em são dependentes, não precisamos fazer esses cálculos aqui.

Resposta

Os vetores dados são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

Decida se os vetores de R^3 dados são linearmente dependentes ou não nos casos seguintes.
u=(1,2,3), v=(0,0,0), w=(1,5,6).
Considere alpha a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[ccc 2 & k & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 ]
Determine o valor de k para que o operador T seja diagonalizável.
Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3.
Escreva w=(1,3,8) como uma combinação linear de u e v.
Considere os vetores u=(1,2,3) e v=(2,3,1) de R^3.
Escreva w=(2,4,5) como uma combinação linear de u e v.