Considere que a altura de um grupo de pessoas segue uma distribuição normal com média mu=170 cm e desvio padrão sigma=10 cm. Qual é a probabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente tenha altura entre 165 cm e 175 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo de pessoas onde a altura segue uma distribuição normal, com média mu = 170 cm e desvio padrão sigma = 10 cm. A pergunta é: qual a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter altura entre 165 cm e 175 cm? Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de estatística sobre distribuição normal e o que é padrãoização (transformar nossos valores para a distribuição normal padrão).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a distribuição normal é aquela famosa “curva em forma de sino”, onde a maioria dos valores está perto da média. A média é o centro, que no nosso caso é 170 cm, e o desvio padrão mostra o quanto os valores se espalham em torno dessa média, aqui 10 cm.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade entre 165 cm e 175 cm, vamos transformar esses valores em valores z, que são valores padronizados na distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A fórmula para converter é:
z = X - musigma
onde X é o valor da altura.

Passo 4

Vamos calcular o z para 165 cm:
z1 = 165 - 17010 = -510 = -0.5
E para 175 cm:
z2 = 175 - 17010 = 510 = 0.5

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z estar entre -0.5 e 0.5 na tabela da distribuição normal padrão. Isso significa encontrar P(-0.5 <= z <= 0.5).

Passo 6

Usando a tabela ou uma calculadora de distribuição normal, encontramos:
P(z <= 0.5) approx 0.6915
P(z <= -0.5) approx 0.3085

Passo 7

A probabilidade entre os dois z é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(-0.5 <= z <= 0.5) = P(z <= 0.5) - P(z <= -0.5) = 0.6915 - 0.3085 = 0.383

Resposta

A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter altura entre 165 cm e 175 cm é de aproximadamente 38,3%.

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