Uma equipe de 12 pessoas tem 4 programadores e 8 designers. Se você escolher 5 pessoas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que exatamente 3 sejam programadores?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equipe de 12 pessoas, sendo 4 programadores e 8 designers. A pergunta é: se a gente escolher 5 pessoas de forma aleatória, qual a probabilidade de exatamente 3 serem programadores? Vamos usar combinatória para resolver isso. Vamos precisar calcular combinações para descobrir de quantas maneiras podemos fazer essas escolhas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o número total de maneiras de escolher 5 pessoas entre as 12 disponíveis. Isso é dado pela combinação de 12 elementos tomados 5 a 5, representada por:
C(12, 5) = 12!5!(12-5)! = 12!5! cdot 7!
Calculando isso, temos:
C(12, 5) = 792
Ou seja, existem 792 maneiras diferentes de escolher qualquer 5 pessoas da equipe.

Passo 3

Agora, queremos exatamente 3 programadores dentre os 5 escolhidos. Para isso, precisamos calcular duas coisas:
  1. Escolher 3 programadores dentre os 4 disponíveis:
C(4, 3) = 4!3!(4-3)! = 4!3! cdot 1! = 4
  1. Escolher 2 designers dentre os 8 disponíveis (já que 5 - 3 = 2):
C(8, 2) = 8!2!(8-2)! = 8!2! cdot 6! = 28

Passo 4

Para achar o número total de maneiras de escolher exatamente 3 programadores e 2 designers, multiplicamos as duas combinações que calculamos:
C(4, 3) times C(8, 2) = 4 times 28 = 112
Ou seja, há 112 maneiras de escolher exatamente 3 programadores e 2 designers.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis:
P = C(4, 3) times C(8, 2)C(12, 5) = 112792 approx 0,1414

Resposta

A probabilidade de escolher exatamente 3 programadores ao selecionar 5 pessoas é de aproximadamente 14,14%.

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