Se as notas de um concurso seguem uma distribuição normal com média mu=70 e desvio padrão sigma=8, qual é a probabilidade de que uma amostra de 25 candidatos tenha uma média acima de 72 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a distribuição das notas de um concurso que segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . Queremos saber qual é a probabilidade de que, ao selecionar uma amostra de 25 candidatos, a média das notas dessa amostra seja maior que 72. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Distribuição da Média Amostral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando temos uma amostra grande (n=25 nesse caso), a média das amostras também segue uma distribuição normal, graças ao Teorema Central do Limite. A média dessa distribuição será a mesma da população, ou seja, sigmabarx = sigmaraizn = 8raiz25 = 85 = 1,6 , e o desvio padrão da média amostral, chamado de erro padrão ( ), é calculado dividindo o desvio padrão da população pela raiz quadrada do tamanho da amostra.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média da amostra ( z = barx - musigmabarx ) seja maior que 72. Para isso, vamos padronizar esse valor usando a fórmula do escore z:
z = 72 - 701,6 = 21,6 = 1,25
Substituindo os valores:

Passo 4

Com o valor de P(barx > 72) = 1 - P(z <= 1,25) , precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá a área à esquerda desse valor. Mas como queremos a probabilidade de P(barx > 72) = 1 - 0,8944 = 0,1056 , ou seja, a área à direita, fazemos:
Consultando a tabela, encontramos que . Então:

Resposta

A probabilidade de que uma amostra de 25 candidatos tenha uma média acima de 72 é aproximadamente 10,56%.

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