Considere os anagramas formados a partir de PIRATARIA.
c) Quantos começam por vogal?

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta quantos anagramas da palavra PIRATARIA começam por vogal. Para isso, vamos usar conceitos de permutações com elementos repetidos. Precisamos identificar as vogais na palavra e calcular as possíveis rearrumações começando por elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as letras da palavra PIRATARIA:
  • Letras: P, I, R, A, T, A, R, I, A
Agora, vamos contar quantas vezes cada letra aparece:
  • P: 1 vez
  • I: 2 vezes
  • R: 2 vezes
  • A: 3 vezes
  • T: 1 vez
As vogais presentes são A e I.

Passo 3

Vamos calcular o número de anagramas que começam com a vogal A. Fixando A na primeira posição, restam 8 letras para rearranjar:
  • Letras restantes: P, I, R, A, T, A, R, I
Como há letras repetidas (A aparece 2 vezes, I aparece 2 vezes e R aparece 2 vezes), usamos a fórmula de permutações com repetição:
8!2! times 2! times 2! = 403208 = 5040
Portanto, há 5040 anagramas começando com A.

Passo 4

Agora, vamos calcular os anagramas que começam com a vogal I. Fixando I na primeira posição, restam 8 letras para rearranjar:
  • Letras restantes: P, R, A, T, A, R, I, A
Novamente, consideramos as repetições (A aparece 3 vezes e R aparece 2 vezes):
8!3! times 2! = 4032012 = 3360
Assim, há 3360 anagramas começando com I.

Resposta

O número total de anagramas de PIRATARIA que começam por vogal é 8400.

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