Considere um anel isolante uniformemente carregado com densidade linear lambda=+4,00 mu C / m e raio R=1,80 cm. Determine (b) o valor do campo elétrico num ponto situado sobre o eixo a uma distância de z=R. medida a partir do centro do anel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um anel isolante que está uniformemente carregado com uma densidade linear de carga de lambda = +4,00 , mu C/m e raio R = 1,80 , cm. A pergunta é para encontrar o valor do campo elétrico num ponto que está sobre o eixo do anel, a uma distância z = R do centro do anel. Vamos usar os conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico criado por uma distribuição circular de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga, a gente precisa integrar as contribuições de cada pedacinho de carga da distribuição. No caso de um anel carregado, a simetria facilita bastante nosso trabalho.

Passo 3

Como o ponto onde vamos calcular o campo está sobre o eixo do anel, vamos usar as coordenadas cilíndricas. O anel está no plano xy, e o ponto está a uma distância z = R ao longo do eixo z. Devido à simetria circular, as componentes do campo elétrico na direção radial se cancelam, sobrando apenas a componente na direção do eixo.

Passo 4

A fórmula para o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo de um anel carregado é:
Ez = 14pivarepsilon0 cdot Q z(z^2 + R^2)^3/2
Onde:
  • Q é a carga total do anel,
  • z é a distância do ponto ao centro do anel,
  • R é o raio do anel,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a carga total Q do anel. Sabemos que a densidade linear de carga é lambda, então:
Q = lambda cdot 2pi R
Substituindo os valores:
Q = 4,00 times 10^-6 , C/m times 2pi times 0,0180 , m = 4,00 times 10^-6 times 0,1131 approx 4,524 times 10^-7 , C

Passo 6

Agora, substituímos Q, z = R = 0,0180 , m e R = 0,0180 , m na fórmula do campo elétrico:
Ez = 14pi times 8,85 times 10^-12 , C^2/N,m^2 cdot 4,524 times 10^-7 times 0,0180(0,0180^2 + 0,0180^2)^3/2

Passo 7

Calculando o denominador:
(z^2 + R^2)^3/2 = (2 times 0,0180^2)^3/2 = (2 times 3,24 times 10^-4)^3/2 = (6,48 times 10^-4)^3/2
= (6,48 times 10^-4)^1 times raiz6,48 times 10^-4 approx 6,48 times 10^-4 times 0,02545 approx 1,648 times 10^-5 , m^3

Passo 8

Agora, substituindo de volta:
Ez = 11,112 times 10^-10 cdot 4,524 times 10^-7 times 0,01801,648 times 10^-5
= 8,988 times 10^9 times 8,1432 times 10^-91,648 times 10^-5
= 8,988 times 10^9 times 4,939 times 10^-4 approx 4,44 times 10^6 , N/C

Resposta

O valor do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente 4,44 times 10^6 , N/C na direção do eixo do anel.

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