Considere um anel isolante uniformemente carregado com densidade linear e raio . Determine (b) o valor do campo elétrico num ponto situado sobre o eixo a uma distância de . medida a partir do centro do anel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um anel isolante que está uniformemente carregado com uma densidade linear de carga de e raio . A pergunta é para encontrar o valor do campo elétrico num ponto que está sobre o eixo do anel, a uma distância do centro do anel. Vamos usar os conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico criado por uma distribuição circular de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga, a gente precisa integrar as contribuições de cada pedacinho de carga da distribuição. No caso de um anel carregado, a simetria facilita bastante nosso trabalho.

Passo 3

Como o ponto onde vamos calcular o campo está sobre o eixo do anel, vamos usar as coordenadas cilíndricas. O anel está no plano , e o ponto está a uma distância ao longo do eixo . Devido à simetria circular, as componentes do campo elétrico na direção radial se cancelam, sobrando apenas a componente na direção do eixo.

Passo 4

A fórmula para o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo de um anel carregado é:
Onde:
  • é a carga total do anel,
  • é a distância do ponto ao centro do anel,
  • é o raio do anel,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a carga total do anel. Sabemos que a densidade linear de carga é , então:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, substituímos , e na fórmula do campo elétrico:

Passo 7

Calculando o denominador:

Passo 8

Agora, substituindo de volta:

Resposta

O valor do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente na direção do eixo do anel.

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