Considere um anel isolante uniformemente carregado com densidade linear
e raio
. Determine (b) o valor do campo elétrico num ponto situado sobre o eixo a uma distância de
. medida a partir do centro do anel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um anel isolante que está uniformemente carregado com uma densidade linear de carga de
e raio
. A pergunta é para encontrar o valor do campo elétrico num ponto que está sobre o eixo do anel, a uma distância
do centro do anel. Vamos usar os conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico criado por uma distribuição circular de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição de carga, a gente precisa integrar as contribuições de cada pedacinho de carga da distribuição. No caso de um anel carregado, a simetria facilita bastante nosso trabalho.
Passo 3
Como o ponto onde vamos calcular o campo está sobre o eixo do anel, vamos usar as coordenadas cilíndricas. O anel está no plano
, e o ponto está a uma distância
ao longo do eixo
. Devido à simetria circular, as componentes do campo elétrico na direção radial se cancelam, sobrando apenas a componente na direção do eixo.
Passo 4
A fórmula para o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo de um anel carregado é:
Onde:
-
é a carga total do anel, -
é a distância do ponto ao centro do anel, -
é o raio do anel, -
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a carga total
do anel. Sabemos que a densidade linear de carga é
, então:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na fórmula do campo elétrico:
Passo 7
Calculando o denominador:
Passo 8
Agora, substituindo de volta:
Resposta
O valor do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente
na direção do eixo do anel.
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