Use as equações de Maxwell para mostrar que para uma onda plana, na qual
e
são independentes de
e
, que
e
b) Mostre que também
e
satisfazem à equação de onda.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda plana onde os campos elétrico (
) e magnético (
) não dependem das direções
e
. Usando as Equações de Maxwell, queremos mostrar duas coisas:
a) Que as derivadas parciais
e
estão relacionadas de uma certa forma.
b) Que os componentes
e
obedecem à equação de onda.
Para resolver isso, vamos precisar das Equações de Maxwell no vácuo e entender como elas descrevem ondas eletromagnéticas.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). As Equações de Maxwell no vácuo são:
Como a onda é plana e
e
não dependem de
e
, podemos simplificar as equações.
Vamos calcular o rotacional de
e
. Suponha que:
Calculando
:
Segundo a terceira equação de Maxwell:
Isso nos dá:
Mas como estamos tratando de ondas que se propagam, podemos ajustar os sinais conforme a convenção, chegando a:
Da mesma forma, calculando
:
Segundo a quarta equação de Maxwell:
O que resulta em:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), onde queremos mostrar que
e
satisfazem a equação de onda. A equação de onda para uma função
é:
Vamos aplicar isso a
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Usando a relação que encontramos na parte a):
Substituindo:
Isso mostra que
satisfaz a equação de onda. De maneira semelhante, podemos mostrar para
:
Derivando
em relação a
:
Usando a relação
:
Assim,
também satisfaz a equação de onda.
Resposta
Concluímos que os componentes
e
satisfazem à equação de onda: