Use as equações de Maxwell para mostrar que para uma onda plana, na qual E e B são independentes de y e z, que partial Ezpartialx=partial Bypartialt e partial Bypartialx=mu0 epsilon0 partial Ezpartialt b) Mostre que também Ez e By satisfazem à equação de onda.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda plana onde os campos elétrico ( ) e magnético ( ) não dependem das direções e . Usando as Equações de Maxwell, queremos mostrar duas coisas:
a) Que as derivadas parciais e estão relacionadas de uma certa forma.
b) Que os componentes e obedecem à equação de onda.
Para resolver isso, vamos precisar das Equações de Maxwell no vácuo e entender como elas descrevem ondas eletromagnéticas.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). As Equações de Maxwell no vácuo são:
  1. E = Ez(x, t) z e B = By(x, t) y
  2. nabla times E = ( partial Ezpartial x ) y
  3. nabla times E = -partial Bpartial t Rightarrow partial Ezpartial x y = -partial Bypartial t y
  4. partial Ezpartial x = -partial Bypartial t
Como a onda é plana e partial Ezpartial x = partial Bypartial t e nabla times B = ( -partial Bypartial x ) z não dependem de nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t Rightarrow -partial Bypartial x z = mu0 epsilon0 partial Ezpartial t z e partial Bypartial x = mu0 epsilon0 partial Ezpartial t , podemos simplificar as equações.
Vamos calcular o rotacional de e . Suponha que:
Calculando :
Segundo a terceira equação de Maxwell:
Isso nos dá:
Mas como estamos tratando de ondas que se propagam, podemos ajustar os sinais conforme a convenção, chegando a:
Da mesma forma, calculando :
Segundo a quarta equação de Maxwell:
O que resulta em:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), onde queremos mostrar que partial^2 fpartial x^2 = mu0 epsilon0 partial^2 fpartial t^2 e partial^2 Ezpartial x^2 = partialpartial x ( partial Bypartial t ) = partialpartial t ( partial Bypartial x ) satisfazem a equação de onda. A equação de onda para uma função partial Bypartial x = mu0 epsilon0 partial Ezpartial t é:
partial^2 Ezpartial x^2 = mu0 epsilon0 partial^2 Ezpartial t^2
Vamos aplicar isso a partial^2 Bypartial x^2 = partialpartial x ( mu0 epsilon0 partial Ezpartial t ) = mu0 epsilon0 partialpartial t ( partial Ezpartial x ) e partial^2 Bypartial x^2 = mu0 epsilon0 partial^2 Bypartial t^2 .
Primeiro, derivamos em relação a :
Usando a relação que encontramos na parte a):
Substituindo:
Isso mostra que satisfaz a equação de onda. De maneira semelhante, podemos mostrar para :
Derivando em relação a :
Usando a relação :
Assim, também satisfaz a equação de onda.

Resposta

Concluímos que os componentes partial^2 Ezpartial x^2 = mu0 epsilon0 partial^2 Ezpartial t^2 e partial^2 Bypartial x^2 = mu0 epsilon0 partial^2 Bypartial t^2 e satisfazem à equação de onda:

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