Use as equações de Maxwell para mostrar que para uma onda plana, na qual e são independentes de e , que e b) Mostre que também e satisfazem à equação de onda.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda plana onde os campos elétrico ( ) e magnético ( ) não dependem das direções e . Usando as Equações de Maxwell, queremos mostrar duas coisas:
a) Que as derivadas parciais e estão relacionadas de uma certa forma.
b) Que os componentes e obedecem à equação de onda.
Para resolver isso, vamos precisar das Equações de Maxwell no vácuo e entender como elas descrevem ondas eletromagnéticas.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). As Equações de Maxwell no vácuo são:
Como a onda é plana e e não dependem de e , podemos simplificar as equações.
Vamos calcular o rotacional de e . Suponha que:
Calculando :
Segundo a terceira equação de Maxwell:
Isso nos dá:
Mas como estamos tratando de ondas que se propagam, podemos ajustar os sinais conforme a convenção, chegando a:
Da mesma forma, calculando :
Segundo a quarta equação de Maxwell:
O que resulta em:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), onde queremos mostrar que e satisfazem a equação de onda. A equação de onda para uma função é:
Vamos aplicar isso a e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Usando a relação que encontramos na parte a):
Substituindo:
Isso mostra que satisfaz a equação de onda. De maneira semelhante, podemos mostrar para :
Derivando em relação a :
Usando a relação :
Assim, também satisfaz a equação de onda.

Resposta

Concluímos que os componentes e satisfazem à equação de onda:

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á
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