Use as equações de Maxwell para mostrar que para uma onda plana, na qual
e
são independentes de
e
, que
e
b) Mostre que também
e
satisfazem à equação de onda.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda plana onde os campos elétrico (
) e magnético (
) não dependem das direções
e
. Usando as Equações de Maxwell, queremos mostrar duas coisas:
a) Que as derivadas parciais
e
estão relacionadas de uma certa forma.
b) Que os componentes
e
obedecem à equação de onda.
Para resolver isso, vamos precisar das Equações de Maxwell no vácuo e entender como elas descrevem ondas eletromagnéticas.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). As Equações de Maxwell no vácuo são:
Como a onda é plana e
e
não dependem de
e
, podemos simplificar as equações.
Vamos calcular o rotacional de
e
. Suponha que:
Calculando
:
Segundo a terceira equação de Maxwell:
Isso nos dá:
Mas como estamos tratando de ondas que se propagam, podemos ajustar os sinais conforme a convenção, chegando a:
Da mesma forma, calculando
:
Segundo a quarta equação de Maxwell:
O que resulta em:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), onde queremos mostrar que
e
satisfazem a equação de onda. A equação de onda para uma função
é:
Vamos aplicar isso a
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Usando a relação que encontramos na parte a):
Substituindo:
Isso mostra que
satisfaz a equação de onda. De maneira semelhante, podemos mostrar para
:
Derivando
em relação a
:
Usando a relação
:
Assim,
também satisfaz a equação de onda.
Resposta
Concluímos que os componentes
e
satisfazem à equação de onda:
Exercícios relacionados
Considere um anel isolante uniformemente carregado com densidade linear
e raio
. Determine (b) o valor do campo elétrico num ponto situado sobre o eixo a uma distância de
. medida a partir do centro do anel.
Use as equações de Maxwell para mostrar que para uma onda plana, na qual
e
são independentes de
e
, que
e
Um próton está sobre o eixo de um dipolo elétrico, a 40 nm de distância do centro do dipolo. Quaí o (a)moduio, e indique (b) a direçao e © o sentido da força eletrostàtica que atua sobre o próton se o momento de dipolo é de
. Suponha que a distancia entre as cargas do dipolo é muito menor que 40 nm ?
sobre o eixo central de um disco uniformemente carregado de raio
. Sabendo-se que a densidade superficial de cargas do disco é de
e que o campo elétrico no eixo central de um disco uniformemente carregado é dado por
, onde z é distância ao longo do eixo do disco e
, o raio do disco. Calcule o módulo e indique a direção e o sentido da força elétrica que atua sobre o referido próton.
Considere um sistema bloco-mola. A constante de mola é
, a massa do bloco é
e o coeficiente de amortecimento
.
(a) Encontre a frequência angular das oscilações do sistema.
(b) Suponhamos que o sistema é submetido a uma força propulsora senoidal
(a) Encontre a frequência angular das oscilações do sistema.
(b) Suponhamos que o sistema é submetido a uma força propulsora senoidal
em que
e
. Encontre a amplitude das oscilações forçadas.
(2 pontos)
(2 pontos)