Use as equações de Maxwell para mostrar que para uma onda plana, na qual
e
são independentes de
e
, que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as equações de Maxwell e mostrar que, para uma onda plana onde os campos elétrico
e magnético
não dependem das direções
e
, temos que
e
. Basicamente, vamos aplicar as equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas planejadas e derivar essas igualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell relevantes para esse problema. As equações de Maxwell em forma diferencial são:
-
Lei de Gauss para o campo elétrico:
-
Lei de Gauss para o campo magnético:
-
Lei de Faraday:
-
Lei de Ampère-Maxwell:
Como estamos lidando com uma onda plana no vácuo, não há carga (
) nem corrente elétrica (
). Então, as equações se simplificam.
Passo 3
Vamos considerar que a onda é plana e que os campos
e
só variam com a coordenada
e o tempo
. Ou seja,
e
. Além disso, como os campos são independentes de
e
, podemos simplificar os operadores diferenciais.
Passo 4
Vamos aplicar a Lei de Faraday. Sabemos que:
Calculando o rotacional de
no caso de dependência apenas em
:
Como
não depende de
e
, as derivadas parciais em relação a
e
são zero. Assim:
Igualando à derivada temporal de
:
Isso nos dá:
Para que as componentes se igualem, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Lei de Ampère-Maxwell:
Calculando o rotacional de
:
Novamente, como
não depende de
e
, as derivadas parciais em relação a essas coordenadas são zero. Assim:
Igualando à derivada temporal de
:
Para que as componentes se igualem, temos:
Resposta
Assim, provamos que para uma onda plana onde
e
são independentes de
e
, temos que:
e
Exercícios relacionados
Uma onda plana eletromagnética tem um campo elétrico que é paralelo ao eixo y e tem um vetor de Poynting dado por
no SI), onde
. Quais são a direção e o sentido de propagação da onda?
Considere uma espaçonave percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior, ou perigeu de sua órbita, ela está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre; em seu ponto superior, ou apogeu de sua órbita, ela está a uma altura de 4000 km acima da superfície terrestre,
b) Usando a conservação do momento angular, ache a razão entre a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu.
b) Usando a conservação do momento angular, ache a razão entre a velocidade no perigeu e a velocidade no apogeu.
Considere um anel isolante uniformemente carregado com densidade linear
e raio
. Determine (b) o valor do campo elétrico num ponto situado sobre o eixo a uma distância de
. medida a partir do centro do anel.
Use as equações de Maxwell para mostrar que para uma onda plana, na qual
e
são independentes de
e
, que
e
b) Mostre que também
e
satisfazem à equação de onda.