Use as equações de Maxwell para mostrar que para uma onda plana, na qual e são independentes de e , que e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as equações de Maxwell e mostrar que, para uma onda plana onde os campos elétrico e magnético não dependem das direções e , temos que e . Basicamente, vamos aplicar as equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas planejadas e derivar essas igualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell relevantes para esse problema. As equações de Maxwell em forma diferencial são:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
  3. Lei de Faraday:
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
Como estamos lidando com uma onda plana no vácuo, não há carga ( ) nem corrente elétrica ( ). Então, as equações se simplificam.

Passo 3

Vamos considerar que a onda é plana e que os campos e só variam com a coordenada e o tempo . Ou seja, e . Além disso, como os campos são independentes de e , podemos simplificar os operadores diferenciais.

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Faraday. Sabemos que:
Calculando o rotacional de no caso de dependência apenas em :
Como não depende de e , as derivadas parciais em relação a e são zero. Assim:
Igualando à derivada temporal de :
Isso nos dá:
Para que as componentes se igualem, temos:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Lei de Ampère-Maxwell:
Calculando o rotacional de :
Novamente, como não depende de e , as derivadas parciais em relação a essas coordenadas são zero. Assim:
Igualando à derivada temporal de :
Para que as componentes se igualem, temos:

Resposta

Assim, provamos que para uma onda plana onde e são independentes de e , temos que:
e

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