Use as equações de Maxwell para mostrar que para uma onda plana, na qual E e B são independentes de y e z, que partial Ezpartialx=partial Bypartialt e partial Bypartialx=mu0 epsilon0 partial Ezpartialt

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as equações de Maxwell e mostrar que, para uma onda plana onde os campos elétrico E e magnético B não dependem das direções y e z, temos que partial Ezpartial x = partial Bypartial t e partial Bypartial x = mu0 epsilon0 partial Ezpartial t. Basicamente, vamos aplicar as equações de Maxwell para ondas eletromagnéticas planejadas e derivar essas igualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de Maxwell relevantes para esse problema. As equações de Maxwell em forma diferencial são:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
    nabla cdot E = rhoepsilon0
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
    nabla cdot B = 0
  3. Lei de Faraday:
    nabla times E = -partial Bpartial t
  4. Lei de Ampère-Maxwell:
    nabla times B = mu0 J + mu0 epsilon0 partial Epartial t
Como estamos lidando com uma onda plana no vácuo, não há carga ( rho = 0) nem corrente elétrica ( J = 0). Então, as equações se simplificam.

Passo 3

Vamos considerar que a onda é plana e que os campos E e B só variam com a coordenada x e o tempo t. Ou seja, E = E(x,t) e B = B(x,t). Além disso, como os campos são independentes de y e z, podemos simplificar os operadores diferenciais.

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Faraday. Sabemos que:
nabla times E = -partial Bpartial t
Calculando o rotacional de E no caso de dependência apenas em x:
nabla times E = ( partial Ezpartial y - partial Eypartial z ) i + ( partial Expartial z - partial Ezpartial x ) j + ( partial Eypartial x - partial Expartial y ) k
Como E não depende de y e z, as derivadas parciais em relação a y e z são zero. Assim:
nabla times E = -partial Ezpartial x j
Igualando à derivada temporal de B:
-partial Ezpartial x j = -partial Bpartial t
Isso nos dá:
partial Ezpartial x j = partial Bpartial t
Para que as componentes se igualem, temos:
partial Ezpartial x = partial Bypartial t

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Lei de Ampère-Maxwell:
Calculando o rotacional de менќega times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t :
B
Novamente, como nabla times B = ( partial Bzpartial y - partial Bypartial z ) i + ( partial Bxpartial z - partial Bzpartial x ) j + ( partial Bypartial x - partial Bxpartial y ) k não depende de B e y, as derivadas parciais em relação a essas coordenadas são zero. Assim:
z
Igualando à derivada temporal de nabla times B = partial Bypartial x k :
E
Para que as componentes se igualem, temos:
partial Bypartial x k = mu0 epsilon0 partial Epartial t

Resposta

Assim, provamos que para uma onda plana onde E e B são independentes de y e z, temos que:
partial Ezpartial x = partial Bypartial t
e
partial Bypartial x = mu0 epsilon0 partial Ezpartial t

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