Considere um anel uniformemente carregado, com densidade de carga
, de raio R e carga total Q . O anel está posicionado no plano
e seu centro está localizado no ponto
. Mostre que o vetor do campo em um ponto
que passa pelo seu eixo, é dado por:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um anel uniformemente carregado com densidade de carga
, raio
e carga total
. Esse anel está colocado no plano
e o centro dele está no ponto
. Nosso objetivo é descobrir qual é o campo elétrico
em um ponto ao longo do eixo
que passa pelo centro do anel. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especialmente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
onde
é a constante eletrostática,
é a carga,
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e
é um vetor unitário na direção de
.
No nosso caso, o anel está carregado, então vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel e integrar o campo elétrico causado por todos esses elementos.
Passo 3
Vamos escolher um ponto no eixo
a uma distância
do plano do anel. Como o anel está deslocado para o ponto
, a distância efetiva do ponto de interesse até o elemento de carga será
.
O vetor posição do elemento de carga em relação ao ponto onde estamos calculando o campo será então:
Passo 4
Devido à simetria do anel, os componentes do campo elétrico na direção radial (no plano
) vão se cancelar, deixando apenas o componente na direção
. Portanto, só precisamos calcular esse componente axial do campo elétrico.
Usando isso, o campo elétrico axial devido a um elemento de carga
é:
Passo 5
Agora, vamos integrar esse campo ao longo de todo o anel para encontrar o campo total. A carga total do anel é
, então
, onde
é um elemento de comprimento do anel. Mas aqui, como a expressão já está em termos de
, podemos simplificar a integração multiplicando a expressão acima por
:
Resposta
Portanto, o vetor campo elétrico no ponto ao longo do eixo
é:
Exercícios relacionados
Qual o ângulo de polarização (a) da água, com
e (b) de um vidro com
?
Numa praia, a luz é de modo geral parcialmente polarizada devido às reflexões na areia e na água. Numa praia particular, em determinado dia, próximo ao pôr do sol, o componente horizontal do vetor campo elétrico é 2,3 vezes o componente vertical. Um banhista em pé coloca óculos de sol polarizadores; os óculos eliminam o componente horizontal do campo. (a) Que fração da intensidade luminosa recebida antes da colocação dos óculos atinge agora os olhos do banhista? (b) O banhista, ainda usando os óculos, deita se de lado. Que fração da intensidade luminosa recebida antes da colocação dos óculos atinge agora seus olhos? © Calcule a fração da intensidade luminosa se o banhista está agora repousando de lado em uma cadeira reclinada à 45 graus?
Considere agora que, posicionamos um segundo anel no sistema, com seu centro na posição
, carregado uniformemente com densidade de carga
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e no ponto
. (Dica: Faça um diagrama com os sentidos dos campos para facilitar a análise.)
Considere um sistema composto por duas cargas,
e
, posicionadas sobre um eixo horizontal nas posições
e
, respectivamente. (a) Faça uma representação gráfica das linhas de campo e das superfícies equipotenciais para este sistema, explicando todos os passos usados. (b) Como a representação anterior ficaria caso
? Justifique.