Considere um anel uniformemente carregado, com densidade de carga lambda, de raio R e carga total Q . O anel está posicionado no plano x y e seu centro está localizado no ponto (0,0, d). Mostre que o vetor do campo em um ponto z que passa pelo seu eixo, é dado por:
E=K Q(z-d)[R^2+(z-d)^2]^3 / 2 k(N / C)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um anel uniformemente carregado com densidade de carga lambda, raio R e carga total Q. Esse anel está colocado no plano xy e o centro dele está no ponto (0,0,d). Nosso objetivo é descobrir qual é o campo elétrico E em um ponto ao longo do eixo z que passa pelo centro do anel. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especialmente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
E = K Qr^2 r
onde K é a constante eletrostática, Q é a carga, r é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e r é um vetor unitário na direção de r.
No nosso caso, o anel está carregado, então vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel e integrar o campo elétrico causado por todos esses elementos.

Passo 3

Vamos escolher um ponto no eixo z a uma distância z do plano do anel. Como o anel está deslocado para o ponto (0,0,d), a distância efetiva do ponto de interesse até o elemento de carga será (z - d).
O vetor posição do elemento de carga em relação ao ponto onde estamos calculando o campo será então:
r = raizR^2 + (z - d)^2

Passo 4

Devido à simetria do anel, os componentes do campo elétrico na direção radial (no plano xy) vão se cancelar, deixando apenas o componente na direção z. Portanto, só precisamos calcular esse componente axial do campo elétrico.
Usando isso, o campo elétrico axial devido a um elemento de carga dq é:
dEz = K , dq , (z - d)[R^2 + (z - d)^2]^3/2

Passo 5

Agora, vamos integrar esse campo ao longo de todo o anel para encontrar o campo total. A carga total do anel é Q, então dq = lambda , ds, onde ds é um elemento de comprimento do anel. Mas aqui, como a expressão já está em termos de Q, podemos simplificar a integração multiplicando a expressão acima por Q:
Ez = K Q (z - d)[R^2 + (z - d)^2]^3/2

Resposta

Portanto, o vetor campo elétrico no ponto ao longo do eixo z é:
E = K Q (z - d)[R^2 + (z - d)^2]^3 / 2 k (N/C)

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