Considere um anel uniformemente carregado, com densidade de carga , de raio R e carga total Q . O anel está posicionado no plano e seu centro está localizado no ponto . Mostre que o vetor do campo em um ponto que passa pelo seu eixo, é dado por:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um anel uniformemente carregado com densidade de carga , raio e carga total . Esse anel está colocado no plano e o centro dele está no ponto . Nosso objetivo é descobrir qual é o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo que passa pelo centro do anel. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletricidade estática, especialmente a Lei de Coulomb e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
onde é a constante eletrostática, é a carga, é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e é um vetor unitário na direção de .
No nosso caso, o anel está carregado, então vamos considerar um elemento infinitesimal de carga no anel e integrar o campo elétrico causado por todos esses elementos.

Passo 3

Vamos escolher um ponto no eixo a uma distância do plano do anel. Como o anel está deslocado para o ponto , a distância efetiva do ponto de interesse até o elemento de carga será .
O vetor posição do elemento de carga em relação ao ponto onde estamos calculando o campo será então:

Passo 4

Devido à simetria do anel, os componentes do campo elétrico na direção radial (no plano ) vão se cancelar, deixando apenas o componente na direção . Portanto, só precisamos calcular esse componente axial do campo elétrico.
Usando isso, o campo elétrico axial devido a um elemento de carga é:

Passo 5

Agora, vamos integrar esse campo ao longo de todo o anel para encontrar o campo total. A carga total do anel é , então , onde é um elemento de comprimento do anel. Mas aqui, como a expressão já está em termos de , podemos simplificar a integração multiplicando a expressão acima por :

Resposta

Portanto, o vetor campo elétrico no ponto ao longo do eixo é:

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