Considere agora que, posicionamos um segundo anel no sistema, com seu centro na posição (0,0,-d), carregado uniformemente com densidade de carga -lambda. Determine o campo resultante no ponto P1=(0,0,0) e no ponto P2=(0,0, d). (Dica: Faça um diagrama com os sentidos dos campos para facilitar a análise.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre dois anéis carregados: um com densidade de carga positiva no centro da posição e outro com densidade de carga negativa no centro da posição . A gente precisa determinar o campo elétrico resultante nos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por um anel carregado e a superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por um único anel carregado em um ponto ao longo do eixo central. Imagine um anel com raio E = 14pivarepsilon0 cdot Q z(z^2 + a^2)^3/2 e carga total . O campo elétrico no eixo a uma distância do centro do anel é dado pela fórmula:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

No nosso caso, temos dois anéis:
  1. Anel 1: Carregado com densidade , no centro .
  2. Anel 2: Carregado com densidade , no centro .
Vamos considerar que ambos os anéis têm o mesmo raio . A carga total de cada anel será e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico no ponto E2 = 14pivarepsilon0 cdot Q' d(d^2 + a^2)^3/2 . Esse ponto está exatamente no centro do Anel 1 e no eixo do Anel 2 a uma distância E2 = 14pivarepsilon0 cdot (-lambda cdot 2pi a) d(d^2 + a^2)^3/2 = -lambda a d2varepsilon0(d^2 + a^2)^3/2 .
Primeiro, o campo elétrico devido ao Anel 1 em Eresu é zero, porque no centro de um anel carregado, os campos das cargas se cancelam.
Agora, vamos calcular o campo devido ao Anel 2 em . A distância do Anel 2 a é , então:
Substituindo :
Como o campo devido ao Anel 1 é zero, o campo resultante em é apenas :

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico no ponto E1 = 14pivarepsilon0 cdot Q d(d^2 + a^2)^3/2 = lambda cdot 2pi a cdot d4pivarepsilon0(d^2 + a^2)^3/2 = lambda a d2varepsilon0(d^2 + a^2)^3/2 . Esse ponto está no eixo central de ambos os anéis.
Primeiro, o campo elétrico devido ao Anel 1 em E2 = 14pivarepsilon0 cdot Q' cdot 2d((2d)^2 + a^2)^3/2 = (-lambda cdot 2pi a) cdot 2d4pivarepsilon0(4d^2 + a^2)^3/2 = -lambda a dvarepsilon0(4d^2 + a^2)^3/2 está a uma distância Eresu do anel. Usando a mesma fórmula:
Agora, o campo devido ao Anel 2 em está a uma distância (já que o Anel 2 está em ). Então:
Os campos e estão na mesma direção ao longo do eixo , então podemos somá-los diretamente:

Resposta

O campo elétrico resultante nos pontos solicitados é:
Eresu
e
Eresu

Exercícios relacionados