Considere a aplicação de
em
dada por
Mostre que
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente tem uma função
que pega um vetor de
e transforma em outro vetor também em
. Queremos mostrar que essa função
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar que transformações lineares preservam a adição de vetores e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função
preserva a adição de vetores. Ou seja, para dois vetores quaisquer
e
, precisamos verificar se:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Passo 3
Calculando
:
Aplicando
nessa soma:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Somando os dois:
Passo 5
Comparando os resultados de
e
, vemos que eles são iguais:
Isso confirma que
preserva a adição de vetores.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para um vetor
e um escalar
, precisamos checar se:
Vamos calcular cada lado.
Passo 7
Calculando
:
Aplicando
:
Passo 8
Calculando
:
Multiplicando por
:
Passo 9
Comparando
e
, vemos que são iguais:
Isso mostra que
preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Como
preserva tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Determine se é subespaço vetorial de
:
(a) ;
(b)
©
(a)
(b)
©
Verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) e
(b) e
e
(a)
(b)
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
:
(a) hiperplano ;
(b) conjunto solução de ;
© conjunto-solução de ;
(d) .
(a) hiperplano
(b) conjunto solução de
© conjunto-solução de
(d)