Considere a aplicação de R^3 em R^3 dada por
T(x, y, z)=(0, z+y, z+2 y)
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente tem uma função que pega um vetor de e transforma em outro vetor também em . Queremos mostrar que essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar que transformações lineares preservam a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função T(u + v) = T(u) + T(v) preserva a adição de vetores. Ou seja, para dois vetores quaisquer e , precisamos verificar se:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.

Passo 3

Calculando u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) :
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (0, (z1 + z2) + (y1 + y2), (z1 + z2) + 2(y1 + y2))
Aplicando T(u + v) = (0, z1 + z2 + y1 + y2, z1 + z2 + 2y1 + 2y2) nessa soma:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular T(u) = (0, z1 + y1, z1 + 2y1) :
T(v) = (0, z2 + y2, z2 + 2y2)
T(u) + T(v) = (0 + 0, (z1 + y1) + (z2 + y2), (z1 + 2y1) + (z2 + 2y2)) = (0, z1 + z2 + y1 + y2, z1 + z2 + 2y1 + 2y2)
Somando os dois:

Passo 5

Comparando os resultados de T(u + v) = T(u) + T(v) e , vemos que eles são iguais:
Isso confirma que preserva a adição de vetores.

Passo 6

Agora, vamos verificar se T(cu) = cT(u) preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para um vetor e um escalar , precisamos checar se:
Vamos calcular cada lado.

Passo 7

Calculando cu = (cx, cy, cz) :
T(cu) = T(cx, cy, cz) = (0, cz + cy, cz + 2cy) = (0, c(z + y), c(z + 2y))
Aplicando :

Passo 8

Calculando T(u) = (0, z + y, z + 2y) :
cT(u) = c(0, z + y, z + 2y) = (0, c(z + y), c(z + 2y))
Multiplicando por :

Passo 9

Comparando T(cu) = cT(u) e , vemos que são iguais:
Isso mostra que preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como preserva tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

Exercícios relacionados