Considere a aplicação de em dada por
Mostre que é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente tem uma função que pega um vetor de e transforma em outro vetor também em . Queremos mostrar que essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar lembrar que transformações lineares preservam a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função preserva a adição de vetores. Ou seja, para dois vetores quaisquer e , precisamos verificar se:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.

Passo 3

Calculando :
Aplicando nessa soma:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Somando os dois:

Passo 5

Comparando os resultados de e , vemos que eles são iguais:
Isso confirma que preserva a adição de vetores.

Passo 6

Agora, vamos verificar se preserva a multiplicação por escalar. Ou seja, para um vetor e um escalar , precisamos checar se:
Vamos calcular cada lado.

Passo 7

Calculando :
Aplicando :

Passo 8

Calculando :
Multiplicando por :

Passo 9

Comparando e , vemos que são iguais:
Isso mostra que preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como preserva tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, podemos concluir que é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Determine se é subespaço vetorial de :
(a) ;
(b)
©
Verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) e
(b) e e
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
(a) hiperplano ;
(b) conjunto solução de ;
© conjunto-solução de ;
(d) .